Νέα ισότητα

KARKAR · #1

: Νέα ισότητα.png (17.1 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Η χορδή

είναι κάθετη στη διάμετρο

. Σε σημείο

της

φέρουμε κάθετη στη

, η οποία τέμνει την

στο

και την

προέκταση της

στο σημείο

. Δείξτε ότι : SM=MP

.

#2

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ , γιατί το τετράπλευρο SDBM

έχει άθροισμα γωνιών στα σημεία $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ είναι : $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ .

$\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ , γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο της χορδής

$\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ λόγω συμμετρίας ως προς τη διάμετρο

: Νέα ισότητα.png (32.58 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

Λόγω μεταβατικότητας $\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}}$ , ισότητα που μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο ASBP

είναι εγγράψιμο.

Άμεση συνέπεια : $\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}} \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_5}} \Rightarrow BS = BP$ . Μα τότε το ύψος

του ισοσκελούς τριγώνου BSP

είναι και διάμεσος του .

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 20, 2017 8:44 pm Νέα ισότητα.pngΗ χορδή είναι κάθετη στη διάμετρο . Σε σημείο της

φέρουμε κάθετη στη , η οποία τέμνει την στο και την

προέκταση της στο σημείο . Δείξτε ότι : .

: Νέα ισότητα.png (18.69 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες από τα εγγράψιμα τετράπλευρα MCPB, SMBD.

Είναι ακόμα BC=BD,

άρα τα ορθογώνια τρίγωνα CBP, DBS

είναι ίσα, απ' όπου BP=BS

και το ζητούμενο έπεται.

KARKAR · #4

: Νέα ισότητα.png (17.1 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Αφού ευχαριστήσω τους φίλους Νίκο και Γιώργο για τις απαντήσεις τους , ας κάνω ένα σχόλιο .

Η άσκηση πιθανόν να φαίνεται σχετικά απλή για διαγωνισμούς . Πρέπει όμως να έχουμε υπόψιν

ότι μιλάμε για επίπεδο Ευκλείδη και συγκεκριμένα για Α' Λυκείου , όπου μάλλον είναι κατάλληλη .

Παρά ταύτα βάζω ένα συμπληρωματικό ερώτημα : Αν το τρίγωνο ACD

είναι ισόπλευρο ,

πως θα επιλέξουμε το σημείο

, ώστε :

;

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 21, 2017 11:45 am Νέα ισότητα.pngΑφού ευχαριστήσω τους φίλους Νίκο και Γιώργο για τις απαντήσεις τους , ας κάνω ένα σχόλιο .

Η άσκηση πιθανόν να φαίνεται σχετικά απλή για διαγωνισμούς . Πρέπει όμως να έχουμε υπόψιν

ότι μιλάμε για επίπεδο Ευκλείδη και συγκεκριμένα για Α' Λυκείου , όπου μάλλον είναι κατάλληλη .

Παρά ταύτα βάζω ένα συμπληρωματικό ερώτημα : Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ,

πως θα επιλέξουμε το σημείο , ώστε : ;

: Νέα ισότητα_extra.png (22.32 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές

Στην ειδική περίπτωση που το τρίγωνο ACD

είναι ισόπλευρο , αν φέρουμε τη μεσοκάθετο στο

και κόψει τη

στο

τότε

τα τρίγωνα $MCP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BMC$ έχουν: $\left\{ \begin{gathered} MC = MB \hfill \\ \widehat {MCP} = \widehat {BMC} = 120^\circ \hfill \\ \widehat {PMC} = \widehat {CBM} = 30^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα είναι ίσα , οπότε θα εχουν MP = BC = r

.

#6

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 21, 2017 11:45 am Νέα ισότητα.pngΑφού ευχαριστήσω τους φίλους Νίκο και Γιώργο για τις απαντήσεις τους , ας κάνω ένα σχόλιο .

Η άσκηση πιθανόν να φαίνεται σχετικά απλή για διαγωνισμούς . Πρέπει όμως να έχουμε υπόψιν

ότι μιλάμε για επίπεδο Ευκλείδη και συγκεκριμένα για Α' Λυκείου , όπου μάλλον είναι κατάλληλη .

Παρά ταύτα βάζω ένα συμπληρωματικό ερώτημα : Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ,

πως θα επιλέξουμε το σημείο , ώστε : ;

Χαιρετώ τους φίλους!

: Νέα ισότητα.b.png (14.52 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

και την

στο

Φέρνω και την εφαπτομένη στο

που τέμνει την

στο

Θα δείξω ότι το

είναι το ζητούμενο σημείο, δηλαδή $P\widehat MB=90^0$ και PM=r

.

Προφανώς το

είναι μέσο του

και το

είναι ισόπλευρο. Επιπλέον είναι:

$\displaystyle P{B^2} = PC \cdot PA \Leftrightarrow \frac{{P{A^2}}}{4} = PC \cdot PA \Leftrightarrow PC = \frac{{PA}}{4} = CN = CM \Leftrightarrow$ $\boxed{PM \bot BN}$

$\displaystyle PM = \frac{{PN\sqrt 3 }}{2} =\dfrac{PA\sqrt 3}{4}= \frac{{AB}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{PM=r}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 20, 2017 8:44 pm Νέα ισότητα.pngΗ χορδή είναι κάθετη στη διάμετρο . Σε σημείο της

φέρουμε κάθετη στη , η οποία τέμνει την στο και την

προέκταση της στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Λόγω των εγγράψιμων $\displaystyle PCMB,MBDS$ κι επειδή $\displaystyle \angle DCB = \angle BDC$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες. Άρα $\displaystyle PM = MS$

Αν $\displaystyle \vartriangle ACD$ ισόπλευρο , $\displaystyle AD = R\sqrt 3$ και κάθε κόκκινη γωνία είναι $\displaystyle {30^0}$ .

Είναι $\displaystyle \vartriangle MPB \cong \vartriangle ABD \Rightarrow \frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{PM}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{MB}}{R} = \frac{R}{{R\sqrt 3 }} \Rightarrow \boxed{MB = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}}$

Η τομή του κύκλου $\displaystyle \left( {B,\frac{{R\sqrt 3 }}{3}} \right)$ με την $\displaystyle CD$ ορίζει τη θέση του Μ

: N.I.png (21.65 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Νέα ισότητα

Νέα ισότητα

Re: Νέα ισότητα

Re: Νέα ισότητα

Re: Νέα ισότητα

Re: Νέα ισότητα

Re: Νέα ισότητα

Re: Νέα ισότητα

Μέλη σε σύνδεση