Όριο με παραγοντικό

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(n!)^2}{(1+1^2)(1+2^2)\cdots (1+n^2)}}$

#2

Χρησιμοποιούμε το άπειρο γινόμενο

$\displaystyle \sin{z} = z\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2\pi^2} \right)$

Για $z = i\pi$ παίρνουμε:

$\displaystyle \sin(i \pi) = i \pi \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n^2} \right) = \frac{i \pi}{\ell}$

Άρα

$\displaystyle \ell = \frac{i\pi}{\sin(i\pi)} = \frac{\pi}{\sinh{\pi}}$

#3

Με την συνάρτηση Γάμμα του Euler

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {1 + {1^2}} \right)\left( {1 + {2^2}} \right)..\left( {1 + {n^2}} \right)}}} \right) =$

$\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{n!}}{{\left( { - i + 1} \right)\left( { - i + 2} \right)..\left( { - i + n} \right)}} \cdot \frac{{n!}}{{\left( {i + 1} \right)\left( {i + 2} \right)..\left( {i + n} \right)}}} \right) =$

$\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{\left( { - i} \right) \cdot n! \cdot {{\left( {n + 1} \right)}^{ - i}}}}{{\left( { - i} \right)\left( { - i + 1} \right)\left( { - i + 2} \right)..\left( { - i + n} \right)}} \cdot \frac{{i \cdot n! \cdot {{\left( {n + 1} \right)}^i}}}{{i\left( {i + 1} \right)\left( {i + 2} \right)..\left( {i + n} \right)}}} \right) =$

$\displaystyle = \Gamma \left( i \right) \cdot \Gamma \left( { - i} \right) = i \cdot \Gamma \left( i \right) \cdot \Gamma \left( {1 - i} \right) = i \cdot \frac{\pi }{{\sin \left( {i\pi } \right)}} = \frac{{2\pi }}{{{e^\pi } - {e^{ - \pi }}}}$

Όριο με παραγοντικό

Όριο με παραγοντικό

Re: Όριο με παραγοντικό

Re: Όριο με παραγοντικό

Μέλη σε σύνδεση