Με πόσους τρόπους;

#1

είναι το περίκεντρο, το έγκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα, ισοσκελούς αλλά όχι ισοπλεύρου τριγώνου

ABC (AB=AC=b,BC=a).

Με πόσους τρόπους μπορείτε να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{OI}}{{IH}} = \frac{b}{a};$

#2

Επαναφορά.

KARKAR · #3

: Σχέση Βισβίκη.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 3928 φορές

Λόγω των ίσων πράσινων γωνιών , η

είναι διχοτόμος ( και) της $\widehat{OBH}$ ,

οπότε : $\dfrac{OI}{IH}=\dfrac{R}{BH}$ . Αλλά : $R=\dfrac{ab^2}{4E}=\dfrac{b^2}{2h}=\dfrac{b^2}{2bcos\theta}=\dfrac{b}{2cos\theta}$

και $BH=\dfrac{a}{2cos\theta}$ . Η πρόταση είναι σπουδαία : Ας την ονομάσουμε "λήμμα Βισβίκη "

#4

Από την διχοτόμο

της γωνίας $\angle OBH$ και τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle OAB,\ \vartriangle HBC$ προκύπτει $\displaystyle \frac{OI}{IH} = \frac{OB}{HB} = \frac{b}{a}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Ορέστης Λιγνός · #5

george visvikis έγραψε: Τετ Δεκ 13, 2017 11:43 am είναι το περίκεντρο, το έγκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα, ισοσκελούς αλλά όχι ισοπλεύρου τριγώνου

Με πόσους τρόπους μπορείτε να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{OI}}{{IH}} = \frac{b}{a};$

Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ .
Φέρνουμε επίσης και τις κάθετες από τα $O, \, I, \, H$ στην

που την τέμνουν στα $K, \, L, \, M$ αντίστοιχα.

Από Θ. Θαλή, είναι $\dfrac{OI}{IH}=\dfrac{KL}{LM}$ (1).

Το $\vartriangle OAC$ είναι ισοσκελές ( OA=OC

) και $OK \perp AC$ , άρα $AK=KC=\dfrac{b}{2}$ .

Τα CL,CD

είναι εφαπτόμενα τμήματα στον εγγεγραμμένο κύκλο, άρα $CL=CD=\dfrac{a}{2}$ .

Είναι τώρα $KL=AC-AK-LC=\dfrac{b-a}{2}$ (2)

Επίσης, $ML=CL-MC=\dfrac{a}{2}-MC$ (3).

Τα τρίγωνα $\vartriangle BMC$ και $\vartriangle ADC$ είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια, και έχουν κοινή την $\widehat{C}$ .

Άρα, $\dfrac{MC}{DC}=\dfrac{BC}{AC} \Rightarrow \dfrac{MC}{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{a}{b} \Rightarrow MC=\dfrac{a^2}{2b}$ (4).

Από (3), (4) $ML=\dfrac{ab-a^2}{2b}$ (5).

Από (1), (2), (5) έχουμε $\dfrac{OI}{IH}=\dfrac{KL}{LM}=\ldots=\dfrac{b}{a} \Rightarrow \boxed{\dfrac{OI}{IH}=\dfrac{b}{a}}$ .

: orestis.png (24.52 KiB) Προβλήθηκε 3896 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Χαιρετώ όλους! Παραλλαγή από τη .. μέση και κάτω.

: 8-1-18 Με πόσους τρόπους ; GV.PNG (9.12 KiB) Προβλήθηκε 3874 φορές

Το

είναι εγγράψιμο άρα $B\widehat{H}M=\widehat{C}=\omega$ . Με τον Ν.Η $\eta \mu \omega =\dfrac{b}{2R}$ αλλά και $\eta \mu \omega = \dfrac{BM}{BH}=\dfrac{a}{2BH}$ .

Απ' αυτές $\dfrac{R}{BH}=\dfrac{b}{a}$ οπότε και $\dfrac{OI}{IH}=\dfrac{OB}{BH}=\dfrac{b}{a}$ . Φιλικά Γιώργος.

Με πόσους τρόπους;

Με πόσους τρόπους;

Re: Με πόσους τρόπους;

Re: Με πόσους τρόπους;

Re: Με πόσους τρόπους;

Re: Με πόσους τρόπους;

Re: Με πόσους τρόπους;

Μέλη σε σύνδεση