H 18άρα, η 36άρα και ..μέση ανάλογος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους ! Τελευταία προσωπική κατασκευή :

: 14-12-17 18άρα , 36άρα και .. μέση ανάλογος.PNG (6.83 KiB) Προβλήθηκε 1000 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{B}=18^{0}...\widehat{C}=36^{0}$ και

διχοτόμος του.

Στην προέκταση της

θεωρούμε σημείο

ώστε να είναι DT=DB

.

1) Να βρεθεί τριάδα τμημάτων (από τα ήδη υπάρχοντα στο σχήμα) όπου το ..δεύτερο να είναι ''μέσος ανάλογος'' των άλλων δύο.

Στη συνέχεια μια (απλή) εφαρμογή , για χάρη ..

..του χρυσού αριθμού $\Phi$ . Αν δοθεί ότι $\left ( CAT \right )=\sqrt{3-\Phi } cm^{2}$ τότε :

2) Να εξεταστεί αν το μήκος του

είναι (σε

) ακέραιος αριθμός .

Ευχαριστώ , Γιώργος

#2

Για το πρώτο που έλαβα υπ’ όψη μόνο ότι ( ανεξαρτήτως τιμών των γωνιών αυτών).

: 18_36_μέση_a.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

α) Θα δείξω ότι το DC = x

είναι μέσο ανάλογο των $AC = b\,\,\kappa \alpha \iota \, \,$ CT = k

. Πρώτα-πρώτα επειδή C = 2B

έχω : $ab = {c^2} - {b^2}\,\,\,(1)$ ( γνωστή πρόταση με πολλές λύσεις).

Επειδή $BD = DC + CT \Leftrightarrow \dfrac{{ac}}{{b + c}} = \dfrac{{ab}}{{b + c}} + k \Leftrightarrow \boxed{k = \dfrac{{a(c - b)}}{{b + c}}}\,\,(1)$

Συνεπώς αρκεί τώρα να δείξω ότι :

${x^2} = bk \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{{(b + c)}^2}}} = \dfrac{{ab(c - b)}}{{b + c}} \Leftrightarrow \dfrac{{ab}}{{b + c}} = c - b \Leftrightarrow ab = {c^2} - {b^2}$ που ισχύει λόγω της (1)

b) Με τις τιμές των γωνιών που δόθηκαν ας υποθέσουμε $(ACT) = \sqrt {3 - \phi } \,\,\,\,(1)$ .

: ¨οχι ακάεραιος.png (25.85 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

Επειδή $2(ACT) = bk\sin 36^\circ \Leftrightarrow 2(ACT) = \dfrac{1}{4}bk\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } \Leftrightarrow 8(ACT) = bk\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } \,\,(2)$ Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ θα έχω:

$bk\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } = 8\sqrt {3 - \phi } \Leftrightarrow \boxed{bk = 4}$ .

Συνεπώς ${x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2$ ( αφού x > 0

) . δηλαδή $ab = 2(b + c) > 2a \Rightarrow b > 2 \Rightarrow k < 2$ αναγκαστικά τότε $\boxed{k = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 4}$ .

Που με νόμο ημίτονων στο $\vartriangle ADC$ καταλήγω σε άτοπο .

Παρατήρηση : $8\sqrt {3 - \phi } = \sqrt {160 - 32\sqrt 5 } = 4\sqrt {10 - 2\sqrt 5 }$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ. Νίκο σ΄ευχαριστώ για την πλήρη κάλυψη του θέματος !
Να τονίσω βεβαίως πως από την εν λόγω τριάδα μόνο το μήκος του DC=2

είναι ακέραιος ,όπως έδειξε και ο Νίκος.
Σε επόμενη ανάρτηση θα δώσω και την δική μου προσέγγιση.. Φιλικά Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ . Ας δείξουμε λοιπόν τη σχέση $CD^{2}=AC\cdot CT$ γενικότερα για $\widehat{C}=2\widehat{B}$ (όπως ..φανέρωσε και ο Νίκος)

: Η 18άρα ...PNG (6.24 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Στο σχήμα θεωρούμε BI=ID

και $DE=DC \Rightarrow BE=CT$ .

Τότε τα τρίγωνα DAI,DAC

είναι ίσα (κριτήριο ΓΠΓ) οπότε AI=AC

και

.

Ακόμη έχουμε $I\widehat{E}D=\dfrac{180^{0}-\omega}{2}$ και $\theta =\dfrac{180^{0}-3\omega }{2} \Rightarrow A\widehat{D}C=\theta +\omega =\dfrac{180^{0}-\omega}{2}$ συνεπώς $IE\parallel AD$

άρα $\dfrac{BE}{ED}=\dfrac{BI}{AI}\Rightarrow \dfrac{CT}{DC}=\dfrac{DC}{AC}$ , δηλ το

είναι μέσος ανάλογος των AC,CT

.

Για $\widehat{C}=36^{0}$ και με γνωστό ότι $\eta \mu 36^{0}=\sqrt{3-\Phi }/2$ προκύπτει

$\left ( CAT \right )=AC\cdot CT\cdot \eta \mu \left ( 180^{0}-36^{0} \right )/2=CD^{2}\cdot \eta \mu 36^{0}/2=CD^{2}\sqrt{3-\Phi }/4$

άρα λόγω και του δεδομένου παίρνουμε : $CD^{2}=4\Rightarrow CD=2$ .

Φιλικά , Γιώργος

H 18άρα, η 36άρα και ..μέση ανάλογος

H 18άρα, η 36άρα και ..μέση ανάλογος

Re: H 18άρα, η 36άρα και ..μέση ανάλογος

Re: H 18άρα, η 36άρα και ..μέση ανάλογος

Re: H 18άρα, η 36άρα και ..μέση ανάλογος

Μέλη σε σύνδεση