ΡΗΤΟΣ

kimjonarfib · #1

Γεια σας.

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{ax^2+bx+c=0}$ . Γιατί για να έχει ρητές λύσεις πρέπει η $\displaystyle{ \Delta}$ να είναι τέλειο τετράγωνο;

Τροβαδούρος · #2

Όχι
δες π.χ. την
$\sqrt{2}x^2-\sqrt{2}x=0$

kimjonarfib · #3

Ωραία συμφωνώ.Όμως στις λύσεις της ΕΜΕ(Ευκλείδης περσινός πρόβλημα 4 Β Λυκείου) αναφέρει το παραπάνω.

#4

kimjonarfib έγραψε: Πέμ Δεκ 21, 2017 12:42 am Έστω η εξίσωση $\displaystyle{ax^2+bx+c=0}$ . Γιατί για να έχει ρητές λύσεις πρέπει η $\displaystyle{ \Delta}$ να είναι τέλειο τετράγωνο;

kimjonarfib έγραψε: Πέμ Δεκ 21, 2017 1:25 am Ωραία συμφωνώ.Όμως στις λύσεις της ΕΜΕ(Ευκλείδης περσινός πρόβλημα 4 Β Λυκείου) αναφέρει το παραπάνω.

Όχι. Προσοχή εδώ. Στη εν λόγω άσκηση τα a,b,c

είναι ακέραιοι, οπότε η λύση που δίνει η ΕΜΕ είναι σωστή (και το παραπάνω σχόλιο δεν αφορά αυτή την περίπτωση).

Για απόδειξη, με a,b,c

είναι ακέραιους, αν $\displaystyle{ \dfrac {-b \pm \sqrt {D}}{2a} =q \in \mathbb Q}$ τότε $\displaystyle{ \pm \sqrt {D} =2aq+b\in \mathbb Q}$ . Άρα το

(από γνωστή ιδιότητα των αρρήτων) πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ρητού.

kimjonarfib · #5

Μήπως θα μπορούσατε να με παραπέμψετε σε κάποια ύλη για ιδιότητες ρητών - αρρήτων;

ευχαριστώ

#6

kimjonarfib έγραψε: Πέμ Δεκ 21, 2017 8:49 am Μήπως θα μπορούσατε να με παραπέμψετε σε κάποια ύλη για ιδιότητες ρητών - αρρήτων;

Αν κοιτάξεις την θεωρία όπου δείχνουν ότι ο $\sqrt 2$ είναι άρρητος, θα δεις το εξής γενικότερο θεώρημα:

Αν

ακέραιος με $\sqrt D$ ρητός τότε (προφανώς

είναι τετράγωνο ρητού (*) αλλά ακόμα καλύτερα)

είναι τετράγωνο ακεραίου (δηλαδή είναι τέλειο τετράγωνο).

Το θεώρημα και η απόδειξη ήταν γνωστά στους αρχαίους Πυθαγορείους, και υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Επίσης θα την βρεις σε όλα τα βιβλία Θεωρία Αριθμών. Το μόνο που χρειάζεσαι για την απόδειξη είναι η μοναδικότητα της ανάλυσης των φυσικών αριθμών σε γινόμενο πρώτων.

Στην άσκηση στον Διαγωνισμό Ευκλείδη 2016 που παραπέμπεις, μπορείς να πάρεις ως

τον

.

(*) Απλά υψώνεις στο τετράγωνο την $\sqrt D=q$ .

ΡΗΤΟΣ

ΡΗΤΟΣ

Re: ΡΗΤΟΣ

Re: ΡΗΤΟΣ

Re: ΡΗΤΟΣ

Re: ΡΗΤΟΣ

Re: ΡΗΤΟΣ

Μέλη σε σύνδεση