Υπολογισμός ορίου

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και $f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=1, a\in\mathbb{R}$ .
Να υπολογίσετε το όριο: $\lim_{x\to +\infty}\left( f(\frac{a}{\sqrt{x}}) \right)^x}$

#2

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Τετ Δεκ 27, 2017 3:44 pm Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και $f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=1, a\in\mathbb{R}$ .
Να υπολογίσετε το όριο: $\lim_{x\to +\infty}\left( f(\frac{a}{\sqrt{x}}) \right)^x}$

Γιάννη, χαιρετίσματα. Χαθήκαμε.

Με $\displaystyle{y = \frac{a}{\sqrt{x}}}$ ψάχνουμε το όριο στο $\displaystyle{0+}$ του $\displaystyle{\left( f(y) \right)^{\frac{a^2}{y^2}}}$ . Πήρα a>0

αλλά δεν αλλάζει η ουσία.

Λογαριθμίζοντας αναγόμαστε στην εύρεση του $\displaystyle{\lim_{y\to 0+}\frac {a^2}{y^2} \ln f(y)}$ που είναι περίπτωση $\frac {0}{0}$ λόγω της συνέχειας της

στο

. Από l' Hospital είναι ίσο με

$\displaystyle{\lim_{y\to 0+}\frac {a^2}{2y} \frac {f'(y)}{f(y)}= \lim_{y\to 0+}\frac {a^2}{2f(y)} \frac {f'(y)-f'(0)}{y-0} = \frac {a^2}{2f(0)} f''(0)= \frac {a^2}{2} }$

Οπότε το δοθέν τείνει στο $\displaystyle{e^ {\frac {a^2}{2}}}$

Σταμ. Γλάρος · #3

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Τετ Δεκ 27, 2017 3:44 pm Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και $f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=1, a\in\mathbb{R}$ .
Να υπολογίσετε το όριο: $\lim_{x\to +\infty}\left( f(\frac{a}{\sqrt{x}}) \right)^x}$

Καλησπέρα

και Χρόνια Πολλά.
Μια προσπάθεια ...
Θέτω $u=\dfrac{a}{\sqrt{x}}$ . Είναι: $x\rightarrow +\infty \Rightarrow u\rightarrow 0$ και $x=\frac{a^2}{u^2}$ , οπότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\left( f(\frac{a}{\sqrt{x}}) \right)^x} = \lim_{u\to 0}\left( f(u) \right)^\frac{a^2}{u^2}}$ .
Επίσης ισχύει: $\displaystyle{ \lim_{u\to 0} f(u) = f(0)=1>0$ , επομένως f(u)>0

κοντά στο

.
Επομένως αν θεωρήσουμε $g(x)=\left [ f(x) \right ]^{\frac{a^2}{x^2}}$ είναι g(x)>0

για κάθε

"κοντά " στο

.
Στη συνέχεια θεωρούμε την $h(x)=ln \left (g(x) \right )= \frac{a^2}{x^2}\cdot ln \left (g(x) \right )$ .
Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} h(x) = \lim_{x\rightarrow 0} \left [ \dfrac{a^2 ln f(x)}{x^2} \right ]$ με $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}( a^2 ln f(x) )= 0$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}x^2 = 0$ .
Άρα εφαρμόζοντας Κανόνα de l' Hospital έχουμε :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} h(x) = \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{a^2 \frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)}{2x}= \lim_{x\rightarrow 0}\left ( \dfrac{a^2}{2f(x)} \cdot \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0}\right )=\dfrac{a^2}{2f(0)}\cdot f''(0)=\dfrac{a^2}{2}$ .
Τελικά έχουμε $g(x) = e ^{h(x)}$ και θέτοντας t =h(x)

είναι για $x\rightarrow 0$ , $t\rightarrow \dfrac{a^2}{2}$ .
Άρα $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\left( f(\frac{a}{\sqrt{x}}) \right)^x} = \lim_{x\to 0}g(x) =\lim_{x\to 0}e ^{h(x)} = \lim_{t\to 0}e ^t = e^{ \frac{a^2}{2}}$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Τελικά με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου. Το αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης ...

Υπολογισμός ορίου

Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Μέλη σε σύνδεση