Νέος άνω των 20

KARKAR · #1

Δείξτε - χωρίς απολύτως καμία βοήθεια - ότι : $\displaystyle\int_{0}^{5}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx>20$

Δείξτε - με βοήθεια - ότι για k>m>0

: $\displaystyle\int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx\geq k\cdot m$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Έχει ονομασία αυτή η ανισότητα (οι ψυχολόγοι την γνωρίζουν καλά

).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 02, 2018 12:03 pm
Δείξτε - χωρίς απολύτως καμία βοήθεια - ότι : $\displaystyle\int_{0}^{5}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx>20$

Δείξτε - με βοήθεια - ότι για : $\displaystyle\int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx\geq k\cdot m$

To πρώτο είναι ειδική περίπτωση του δευτέρου, οπότε ας δούμε το δεύτερο. Η υπόθεση k>m

περιττεύει. Μας αρκεί η k,m >0

.

$\displaystyle{ \int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{3}{5} k^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} m^{\frac{5}{2}}=$

$\displaystyle {=\frac{1}{5} (k^{\frac{5}{3}}+ k^{\frac{5}{3}}+k^{\frac{5}{3}} + m^{\frac{2}{5}}+m^{\frac{5}{2}} ) \ge \sqrt [5] {k^{\frac{5}{3}} k^{\frac{5}{3}}k^{\frac{5}{3}} m^{\frac{5}{2}}m^{\frac{5}{2}}}= km$

#4

Δείτε και εδώ.

KARKAR · #5

Αξίζει καμιά φορά να αναφέρει κανείς τον τρόπο δημιουργίας μιας άσκησης . Ας τη δούμε :

Η άσκηση φυσικά έχει αφετηρία την ανισότητα Young : "Αν οι θετικοί p,q

ικανοποιούν τη σχέση :

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ , τότε για τους μη αρνητικούς a,b

, ισχύει : $\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab$ " .

Επειδή $\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1$ , παίρνω για $p=\dfrac{5}{3}$ και $q=\dfrac{5}{2}$ την : $\dfrac{a^{\dfrac{5}{3}}}{\dfrac{5}{3}}+\dfrac{b^{\dfrac{5}{2}}}{\dfrac{5}{2}}\geq ab$ .

Βλέποντας τα κλάσματα , το μυαλό πάει στο πονηρό : Μα αυτά είναι γνωστά ολοκληρώματα !

Έτσι η άσκηση ( νόμιζα ότι ) έγινε αρκετά δυσκολότερη . Τότε δεν είχα συνδέσει το θέμα

με την εκδοχή της ανισότητας , όπου χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της αντίστροφης ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 02, 2018 3:27 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 02, 2018 12:03 pm

Δείξτε ότι για : $\displaystyle\int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx\geq k\cdot m$
Η υπόθεση περιττεύει .

Ας δώσω και μιαν εξήγηση γιατί στην εκφώνηση , προέβλεψα : k>m

. Δείτε το ερώτημα α)

$\displaystyle\int_{0}^{5}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx\simeq 21.574>20$ και

$\displaystyle\int_{0}^{4}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{5}x^{\frac{3}{2}}dx\simeq 28.408>>20$ ,

δηλαδή η ανισότητα "ξεχειλώνει" , πράγμα όχι ιδιαίτερα ευχάριστο !

Νέος άνω των 20

Νέος άνω των 20

Re: Νέος άνω των 20

Re: Νέος άνω των 20

Re: Νέος άνω των 20

Re: Νέος άνω των 20

Μέλη σε σύνδεση