Ερώτημα στην κυρτότητα συνάρτησης

[eldeli]

Γνωρίζουμε ότι για μια συνάρτηση συνεχή σε ένα διάστημα Δ ισχύει:
Αν η δεύτερη παράγωγος είναι θετική για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο Δ. Επίσης γνωρίζουμε ότι το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει (σελίδα 274 του σχολικού βιβλίου)

Μπορούμε όμως να ισχυριστούμε ότι ισχύει η συνεπαγωγή:
Αν η συνάρτηση είναι κυρτή στο Δ τότε η δεύτερη παράγωγός της είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδέν;
Αν όχι υπάρχει αντιπαράδειγμα; Αν ναι πως αποδεικνύεται η παραπάνω συνεπαγωγή;

[lonis]

Καλημέρα.
Προφανώς η απάντηση θα χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο.
Αν η f είναι κυρτή στο Δ, δηλαδή η παράγωγός της είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε δεν είναι υποχρεωτικό να ορίζεται η δεύτερη παράγωγος σε όλο το Δ. Έτσι η πρόταση που αναφέρεις είναι λανθασμένη.
Αν όμως, επιπλέον γνωρίζουμε ότι ορίζεται η δεύτερη παράγωγος της f σε όλο το Δ, τότε όντως είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός στο Δ.
Στο συνημμένο, υπάρχει το αντιπαράδειγμα για την πρώτη πρόταση και η απόδειξη για την δεύτερη. Ελπίζω να βοήθησα.

Καλημέρα σε όλους
Λεωνίδας

[dimitris pap]

Σε συνέχεια της παραπάνω ερώτησης θα ήθελα να ρωτήσω αν ισχύει ότι:
"Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή τότε αύξουσα."

ΤΟ ρωτώ για 2 λόγους: 1) Γιατί στο βιβλίο δεν βάζει την συνεπαγωγή "αν και μόνο αν" και λέει απλά "αν f' άυξουσα, τότε κυρτή?"
2) Εστω ότι μας δίνεται ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή. Τότε είναι σίγουρο ότι είναι και παραγωγίσιμη? Δεν υπάρχουν μη παραγωγίσιμες κυρτές?

[lonis]

Στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου, σύμφωνα με τον ορισμό της σελίδας 273, οι έννοιες "κυρτή συνάρτηση" και "συνάρτηση με παράγωγο γνησίως αύξουσα" είναι ταυτόσημες. Δεν επηρεάζει η λέξη "αν", εφόσον πρόκειται για ορισμό νέας έννοιας. Συνεπώς αν δοθεί ότι μία συνάρτηση είναι κυρτή, τότε είναι παραγωγίσιμη με γνησίως αύξουσα παράγωγο. Από κει και πέρα:

"Η γραφική παράσταση μιας διαφορίσιμης συνάρτησης y=f(x) είναι κοίλη προς τα πάνω σε ένα διάστημα όταν το y' αυξάνεται σε αυτό το διάστημα " [Thomas - Finney: Απειροστικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, σελ. 234]

"Μία συνάρτηση f λέγεται κυρτή σε ένα διάστημα, αν για κάθε a και b στο διάστημα, το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα (a,f(a)) και (b,f(b)) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f " [Spivak: Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, σελ. 183]

"Έστω Ι, υποσύνολο του R, ένα διάστημα. Μία συνάρτηση f από το Ι στο R λέγεται κυρτή στο Ι, αν για κάθε λ στο [0,1] και οποιαδήποτε x1, x2 στο Ι ισχύει:
f[λx1+(1-λ)x2] μικρότερο ή ίσο του λf(x1)+(1-λ)f(x2)" [Ντούγιας: Απειροστικός Λογισμός Ι, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2000, σελ. 388]. Τα 1 και 2 μετά το x είναι δείκτες.

Ο Ντούγιας αποδεικνύει (σελ. 391) με τον δικό του ορισμό, ότι σε κάθε εσωτερικό σημείο του Ι, η f έχει πλευρικές παραγώγους και μάλιστα η αριστερή πλευρική παράγωγος στο σημείο είναι μικρότερη από τη δεξιά. Και αμέσως μετά, ότι: εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη στο Ι, τότε " η f είναι κυρτή, μόνον όταν η f ' είναι αύξουσα στο Ι".

Οι ορισμοί του Spivak και του Ντούγια είναι ισοδύναμοι. Ίσως κάποιοι συνάδελφοι μας δώσουν και διαφορετικούς ορισμούς από άλλους συγγραφείς. Πάντως από τα πανεπιστημιακά βιβλία που έχω εγώ, πουθενά δεν μπαίνει ο όρος της παραγωγισιμότητας στο διάστημα για τις κυρτές συναρτήσεις.

Φιλικά
Λεωνίδας

[chris_gatos]

Λεωνίδα νομίζω πως έχεις δίκιο,σε κανένα πανεπιστημιακό δεν εισάγεται η έννοια της κυρτής με τη μονοτονία της 1ης παραγώγου.Όλα (ή σχεδόν όλα) την ορίζουν στο διάστημα Δ με τη σχέση f(λx1+(1-λ)χ2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),x1,x2 στο διάστημα Δ και λ στο [0,1].
Ενα καταπληκτικό (κατά την ταπεινή μου άποψη) άρθρο για τι κυρτές συναρτήσεις είναι αυτό του Δ.Ντρίζου στον
Απολλώνιο τεύχος 2ο οκτώβριος 2003.

[lonis]

Συμφωνώ απολύτως Χρήστο για το άρθρο του Δημήτρη. Πολύ ενδιαφέρον και διδακτικό.
Έχω δει κι άλλους ορισμούς [πχ. Οικονομίδη - Καρυοφύλλη από το ΑΠΘ - ίδια με του Spivak, Θ. Ν. Καζαντζή - "σχολική", με χρήση της f ' κλπ].

Νομίζω ότι ο ορισμός της κυρτότητας είναι ένα σημείο πραγματικής διαφοράς ανάμεσα στα "σχολικά" και τα "ανώτερα" μαθηματικά. Αν μάλιστα διαβάσει κανείς τον ορισμό του σημείου καμπής από τον κ. Ντούγια (σελ. 394 του βιβλίου που προανέφερα), θα βρει κι άλλη μία περίπτωση τέτοιας διαφοράς.

[eldeli]

ευχαριστώ όλους σας για την πολύτιμη βοήθεια που μου δώσατε.

ΕΛΕΝΗ

[killbill]

Στο βιβλίο των δεσμών, καθώς και στο πανεπιστημιακό του Ντούγια που έχω αναφέρει:

Η συνάρτηση είναι κυρτή ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη ή ΙΣΗ του μηδενός.

Αυτό είναι λάθος σύμφωνα με το σημερινό σχολικό βιβλίο που ορίζει την κυρτότητα όταν η πρώτη παράγωγος είναι ΓΝΗΣΙΑ αύξουσα.
Έτσι αν η δεύτερη παράγωγος είναι ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ Ή ΙΣΗ του μηδενός ΔΕΝ πρέπει να συμπεράνουμε σύμφωνα με το σχολικό ότι είναι κυρτή. (Μπορούμε όμως σύμφωνα με τα παλαιότερτα βιβλία που ανέφερα.)
Αυτό γιατί αν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, δηλαδή η παράγωγος της πρώτης παραγώγου είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, συμπεραίνουμε ότι η πρώτη παράγωγος είναι ΑΥΞΟΥΣΑ και όχι ΓΝΗΣΙΑ ΑΥΞΟΥΣΑ που απαιτεί ο ορισμός του σημερινού βιβλίου.

Άρα στην πρόταση Αν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός η συνάρτηση είναι κυρτή, απαντάμε ΛΑΘΟΣ;

Ας με διορθώσει κάποιος

[parmenides51]

Άρα στην πρόταση Αν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός η συνάρτηση είναι κυρτή, απαντάμε ΛΑΘΟΣ;

Πορευόμαστε και κρίνουμε με βάση το υπάρχον σχολικό.
Συνεπώς η πρόταση ''αν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός η συνάρτηση είναι κυρτή'' είναι ΛΑΘΟΣ
γιατί μπορεί να μηδενίζεται σε ολόκληρο διάστημα η δεύτερη παράγωγος, εφόσον υπάρχει (το οποίο δεν προκύπτει από κάπου).

Ερμηνεύοντας το σχολικό αν υπάρχει η δεύτερη παράγωγος συνάρτησης στο εσωτερικό διαστήματος στο οποίο είναι συνεχής και μηδενίζεται σε πεπερασμένου πλήθους σημεία τα οποία δεν συγκροτούν διάστημα τότε η συνάρτηση είναι κυρτή.

Επίσης δες εδώ κι εδώ