Εμβαδο δικλαδης

#1

...Χριστός Ανέστη και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλη την παρέα του

θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας τον προβληματισμό μου ( μπορεί να το έχουμε συζητήσει πάλι...)

στην εύρεση εμβαδού δίκλαδης για παράδειγμα από το σχολικό $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & -{{x}^{2}}+3,\,\,x<1 \\ & 2\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,,\,\,x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$

για τον υπολογισμό του εμβαδού μετξύ της γραφικής παράστασης της

του

και των ευθειών x=-1

και

δικαιολογώντας την συνέχεια

στο σημείο χ=1

κατόπιν γράφουμε

$E=\int\limits_{-1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{|f(x)|dx}+\int\limits_{1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{(-{{x}^{2}}+3)dx}+\int\limits_{1}^{2}{2\sqrt{x}dx}=...$

το ότι ο 1ος κλάδος δεν είναι ορισμένος στο σημείο αλλαγής και εμείς χρησιμοποιούμε αυτό σαν άκρο της ολκλήρωσης,

μπορεί να αποτελέσει μαθηματικό κενό...έχω να παρατηρήσω πάνω σε αυτό το επίσης παράδειγνα του σχολικού σελ 219 για τον

υπολογισμό του $\int\limits_{-1}^{5}{|x-2|dx}$ γράφει την $|x-2|=\left\{ \begin{matrix} & 2-x,\,\,\,x\le 2 \\ & x-2,x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.$ με ισότητα και στους δύο κλάδους

και στο φετεινό των επαναληπτικών στο σημείο αλλαγής δόθηκε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{\eta \mu x}{x}+3,\,\,-\frac{\pi }{2}\le x<0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ & {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2,\,\,\,\,\,\,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Τροβαδούρος · #2

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Δευ Απρ 09, 2018 9:05 pm
$\int\limits_{-1}^{1}{|f(x)|dx}+\int\limits_{1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{(-{{x}^{2}}+3)dx}+\int\limits_{1}^{2}{2\sqrt{x}dx}$

ο 1ος κλάδος δεν είναι ορισμένος στο σημείο αλλαγής και εμείς χρησιμοποιούμε αυτό σαν άκρο της ολκλήρωσης,

μπορεί να αποτελέσει μαθηματικό κενό...

Αν καταλαβαίνω καλά τον προβληματισμό σας δε νομίζω να υπάρχει όντως μαθηματικό κενό,αφού

για κάθε $x \in [-1,1]$ ισχύει $|f(x)|=-x^2+3 \Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{(-x^2+3)dx}$

και

για κάθε $x \in [1,2]$ ισχύει $|f(x)|=2\sqrt{x} \Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{1}^{2}{2\sqrt{x}dx}$

και άρα

$\int\limits_{-1}^{1}{|f(x)|dx}+\int\limits_{1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{(-{{x}^{2}}+3)dx}+\int\limits_{1}^{2}{2\sqrt{x}dx}$

Πού είναι το κενό στον παραπάνω συλλογισμό;

Σταμ. Γλάρος · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Δευ Απρ 09, 2018 9:05 pm
...Χριστός Ανέστη και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλη την παρέα του

θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας τον προβληματισμό μου ( μπορεί να το έχουμε συζητήσει πάλι...)

στην εύρεση εμβαδού δίκλαδης για παράδειγμα από το σχολικό $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & -{{x}^{2}}+3,\,\,x<1 \\ & 2\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,,\,\,x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$

για τον υπολογισμό του εμβαδού μετξύ της γραφικής παράστασης της του και των ευθειών και δικαιολογώντας την συνέχεια

στο σημείο κατόπιν γράφουμε

$E=\int\limits_{-1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{|f(x)|dx}+\int\limits_{1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{(-{{x}^{2}}+3)dx}+\int\limits_{1}^{2}{2\sqrt{x}dx}=...$

το ότι ο 1ος κλάδος δεν είναι ορισμένος στο σημείο αλλαγής και εμείς χρησιμοποιούμε αυτό σαν άκρο της ολκλήρωσης,

μπορεί να αποτελέσει μαθηματικό κενό...έχω να παρατηρήσω πάνω σε αυτό το επίσης παράδειγνα του σχολικού σελ 219 για τον

υπολογισμό του $\int\limits_{-1}^{5}{|x-2|dx}$ γράφει την $|x-2|=\left\{ \begin{matrix} & 2-x,\,\,\,x\le 2 \\ & x-2,x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.$ με ισότητα και στους δύο κλάδους

και στο φετεινό των επαναληπτικών στο σημείο αλλαγής δόθηκε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{\eta \mu x}{x}+3,\,\,-\frac{\pi }{2}\le x<0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ & {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2,\,\,\,\,\,\,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα σε όλους. Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά!
Στο πρώτο παράδειγμα που ανέφερε ο Βασίλης, θεωρούμε τον πρώτο κλάδο της συνάτησης f_1(x)= -x^2+3

και τον δεύτερο κλάδο $f_2(x)=2\sqrt{x}$ .
Από την συνέχεια της

στο

έχουμε: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)=2}$
δηλαδή ισχύει : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f_1(x)=f_1(1)=2}$ .
Άρα από τον ορισμό της συνέχειας στο κλειστό διάστημα η f_1

είναι συνεχής στο [-1,1]

.
Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε
$E=\int\limits_{-1}^{2}{|f(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{|f_1(x)|dx}+\int\limits_{1}^{2}{|f_2(x)|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{(-{{x}^{2}}+3)dx}+\int\limits_{1}^{2}{2\sqrt{x}dx}=...$
Με την διευκρίνηση αυτή, έχω την αίσθηση, ότι το όποιο κενό καλύπτεται ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#4

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Δευ Απρ 09, 2018 9:05 pm
...έχω να παρατηρήσω πάνω σε αυτό το επίσης παράδειγνα του σχολικού σελ 219 για τον

υπολογισμό του $\int\limits_{-1}^{5}{|x-2|dx}$ γράφει την $|x-2|=\left\{ \begin{matrix} & 2-x,\,\,\,x\le 2 \\ & x-2,x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.$ με ισότητα και στους δύο κλάδους

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Συνηθίζουμε να γράφουμε $\displaystyle |a| = \left\{ \begin{array}{l} a,a \ge 0\\ - a,a < 0 \end{array} \right.$ Δεν βρίσκω όμως καμία παρατυπία αν γράψουμε:

$\displaystyle |a| = \left\{ \begin{array}{l} a,a > 0\\ 0,a = 0\\ - a,a < 0 \end{array} \right.$ ή $\displaystyle |a| = \left\{ \begin{array}{l} a,a \ge 0\\ - a,a \le 0 \end{array} \right.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Με βάση το σχολικό αλλά και τα κανονικά Μαθηματικά

οι συναρτήσεις

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} & -{{x}^{2}}+3,\,\,x<1 \\ & 2\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,,\,\,x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$

$g(x)=\left\{ \begin{matrix} & -{{x}^{2}}+3,\,\,x\leq1 \\ & 2\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,,\,\,x> 1 \\ \end{matrix} \right.$

είναι ίσες.

Κανένα πρόβλημα λοιπόν.

Εμβαδο δικλαδης

Εμβαδο δικλαδης

Re: Εμβαδο δικλαδης

Re: Εμβαδο δικλαδης

Re: Εμβαδο δικλαδης

Re: Εμβαδο δικλαδης

Μέλη σε σύνδεση