Η ορθότητα της μεγιστοποίησης

KARKAR · #1

: Η ορθότητα της μεγιστοποίησης.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Η διάμετρος του μικρού ημικυκλίου , είναι ακτίνα του μεγάλου . Από το

φέραμε το εφαπτόμενο

προς το μικρό τόξο , τμήμα

. Εντοπίστε εσωτερικό σημείο

του μεγάλου ημικυκλίου ,

για το οποίο μεγιστοποιείται το (ASE)

και εξηγήστε γιατί τότε είναι : $\hat{S}=90^0$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 10, 2018 11:28 am Η ορθότητα της μεγιστοποίησης.pngΗ διάμετρος του μικρού ημικυκλίου , είναι ακτίνα του μεγάλου . Από το φέραμε το εφαπτόμενο

προς το μικρό τόξο , τμήμα . Εντοπίστε εσωτερικό σημείο του μεγάλου ημικυκλίου ,

για το οποίο μεγιστοποιείται το και εξηγήστε γιατί τότε είναι : $\hat{S}=90^0$

Φέρνω την $\displaystyle OH \bot AE$ που τέμνει το ημικύκλιο στο

Θα δείξω ότι το

είναι το ζητούμενο σημείο. Αφού το τμήμα

είναι σταθερό, αρκεί να δείξω ότι μεγιστοποιείται το ύψος SH.

: Ορθότητα μεγιστοποίησης.png (25.56 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Πράγματι, έστω

ένα άλλο σημείο του ημικυκλίου και S'H'

το ύψος του τριγώνου S'AE.

Είναι

και η εφαπτομένη

του ημικυκλίου στο

δεν τέμνει το τμήμα S'H',

άρα $\boxed{SH>S'H'}$

$\displaystyle A{E^2} = AO \cdot AB = 2{R^2} \Leftrightarrow AE = R\sqrt 2 .$ Αλλά OH||KE,

άρα:

$\displaystyle \frac{{OH}}{{EK}} = \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AO}}{{AK}} = \frac{2}{3} \Rightarrow OH = \frac{R}{3},AH = \frac{{2R\sqrt 2 }}{3},HE = \frac{{R\sqrt 2 }}{3}$ και $\displaystyle SH = \frac{{2R}}{3}$

Επομένως, $\boxed{ {(ASE)_{\max }} = \frac{{{R^2}\sqrt 2 }}{3}}$ και $\displaystyle AH \cdot HE = \frac{{4{R^2}}}{9} = S{H^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat S=90^0}$

Η ορθότητα της μεγιστοποίησης

Η ορθότητα της μεγιστοποίησης

Re: Η ορθότητα της μεγιστοποίησης

Μέλη σε σύνδεση