Σύγκλιση ολοκληρωμάτων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής με τις ιδιότητες

1) $x\in [0,1)\Rightarrow 0\leq f(x)< 1$

2) f(1)=1

3)Η παράγωγος στο

υπάρχει και είναι $f'(1)\neq 0$

Να δειχθεί ότι

$\lim_{n\rightarrow \infty }n\int_{0}^{1}(f(x))^{n}dx=\dfrac{1}{f'(1)}$

dr.tasos · #2

1) Εύκολα βλέπει κανείς ότι f'(1)>0

2) Αν $c \in (0,1)$ τότε $\int^{1-c}_{0} n(f(x))^ndx \stackrel{ n \rightarrow \infty} \rightarrow 0$
Γιατί $m=max_{x \in [0,1-c]} f(x) < 1$ και $0 \leq \int_{0}^{1-c} n(f(x))^n dx \leq nm^n$
Όμως $nm^n \stackrel{ n \rightarrow \infty} \rightarrow 0$ ( λόγω κριτηρίου λόγου πχ )

Άρα , $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1-c} n(f(x))^n dx =0 }$

3) Έστω $\epsilon >0$ πολύ μικρό τέτοιο ώστε $f'(1)-\epsilon > 0$
και βρίσκω λόγω της παραγωγισιμότητας στο 1 $\delta >0$ επίσης πολύ μικρό τέτοιο ώστε $\delta ( f'(1)+\epsilon ) < 2$
και $\displaystyle{ | \frac{f(x)-1}{x-1}-f'(1) | < \epsilon }$

Άρα για $1- \delta < x < 1$ έχω ότι $\displaystyle{ [(x-1)(f'(1)+ \epsilon) +1 ] ^n n \leq n(f(x))^n \leq n [(f'(1)(x-1)+1]^n$

$\Rightarrow \int^{1-\delta}_{0} n(f(x))^ndx +n[\frac{1}{(n+1)(f'(1)+\epsilon)}-\frac{(1-\delta(f'(1)+\epsilon))^{n+1}}{(n+1)(f'(1)+\epsilon)}] \leq \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx \leq \int^{1-\delta}_{0} n(f(x))^ndx+n[ \frac{1}{(n+1)(f'(1)-\epsilon)}-\frac{1-\delta (f'(1)-\epsilon)}{(n+1)(f'(1)-\epsilon)}] }$

Άρα $\displaystyle{ \frac{1}{f'(1)+\epsilon} \leq \lim sup \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx \leq \frac{1}{f'(1)-\epsilon} \Rightarrow \lim sup \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx=\frac{1}{f'(1)} }$
Ομοίως $\displaystyle{ \lim inf \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx = \frac{1}{f'(1)} }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί .

Σύγκλιση ολοκληρωμάτων

Σύγκλιση ολοκληρωμάτων

Re: Σύγκλιση ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση