Όριο με γενικευμένο αρμονικό και ζήτα

Tolaso J Kos · #1

Με βάση το ποστ εδώ ... Ας ελπίσω βέβαια ότι δεν έχω κάνει λάθος στους υπολογισμούς μου.

Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Ας δηλώσουμε με $\mathcal{H}_n^{(r)}$ το γενικευμένο αρμονικό όρο τάξης

, δηλ. $\displaystyle{\mathcal{H}_n^{(r)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^r}}$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{\zeta(n)} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^n}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιουν 06, 2018 5:06 pm Με βάση το ποστ εδώ ... Ας ελπίσω βέβαια ότι δεν έχω κάνει λάθος στους υπολογισμούς μου.

Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Ας δηλώσουμε με $\mathcal{H}_n^{(r)}$ το γενικευμένο αρμονικό όρο τάξης , δηλ. $\displaystyle{\mathcal{H}_n^{(r)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^r}}$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{\zeta(n)} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^n}}$

Οπως γράφτηκε και στο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 89#p299389

είναι $\lim_{n\rightarrow \infty }\zeta (n)=1$

Επίσης είναι

$1 < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^n}< \zeta (n)$

Αρα το όριο είναι

.

Tolaso J Kos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τετ Ιουν 06, 2018 5:41 pm
$1 < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^n}< \zeta (n)$

Αρα το όριο είναι .

To ξέχασα αυτό Σταύρο. Πολύ ωραία. Εγώ αυτό που έκανα είναι να χρησιμοποιήσω την εξής εκτίμηση:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^nk^{-r}=\zeta(r)+\frac1{1-r}n^{1-r}+\frac12n^{-r}-\frac{r}{12}n^{-r-1}+\mathcal{O} \left(n^{-r-2}\right)}$
το οποίο είναι άμεσο από Euler - MacLaurin. To όριο έπεται ότι κάνει

.

Όριο με γενικευμένο αρμονικό και ζήτα

Όριο με γενικευμένο αρμονικό και ζήτα

Re: Όριο με γενικευμένο αρμονικό και ζήτα

Re: Όριο με γενικευμένο αρμονικό και ζήτα

Μέλη σε σύνδεση