Πρώτος αριθμός

panagiotis iliopoulos · #1

Καλησπέρα σας. Συνάντησα ένα πρόβλημα με την εκφώνηση:
Ισχύει ότι για οποιονδήποτε φυσικό

ο αριθμός $n^{2}+n+41$ είναι πρώτος;
Επειδή αδυνατώ να το λύσω, παρακαλώ όποιον μπορεί να δώσει μία λύση.

#2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 15, 2018 3:25 pm
Καλησπέρα σας. Συνάντησα ένα πρόβλημα με την εκφώνηση:
Ισχύει ότι για οποιονδήποτε φυσικό ο αριθμός $n^{2}+n+41$ είναι πρώτος;
Επειδή αδυνατώ να το λύσω, παρακαλώ όποιον μπορεί να δώσει μία λύση.

Δεν γράφω λύση επειδή η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή.

Υπόδειξη: Δοκίμασε n=41

.

Και τώρα μία άσκηση για σένα: Βρες (αν υπάρχουν) όλα τα $0 \le n \le 41$ για τα οποία ο $n^{2}+n+41$ δεν είναι πρώτος.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 15, 2018 3:29 pm
Υπόδειξη: Δοκίμασε .

Και τώρα μία άσκηση για σένα: Βρες (αν υπάρχουν) όλα τα $0 \le n \le 41$ για τα οποία ο $n^{2}+n+41$ δεν είναι πρώτος.

Παναγιώτη, χάθηκες.

Καμιά πρόοδος στα παραπάνω;

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 17, 2018 10:44 am
Παναγιώτη, χάθηκες.

Καμιά πρόοδος στα παραπάνω;

Παναγιώτη: Νέα υπενθύμιση...

Τσιαλας Νικολαος · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 03, 2018 6:35 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 17, 2018 10:44 am
Παναγιώτη, χάθηκες.

Καμιά πρόοδος στα παραπάνω;
Παναγιώτη: Νέα υπενθύμιση...

θα του το μεταφέρω!

panagiotis iliopoulos · #6

Κύριε Λάμπρου δεν μπορώ να το λύσω. Ζητώ συγγνώμη για την καθυστέρηση. Παρακαλώ αν μπορείτε να μου υποδείξετε τη λύση.

#7

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 07, 2018 11:46 am
Παρακαλώ αν μπορείτε να μου υποδείξετε τη λύση.

Παναγιώτη, συγνώμη που δεν απάντησα αμέσως αλλά ήμουνα στην Αθήνα κάνοντας σεμινάρια σε όλους τους Δασκάλους, σε ένα μεγάλο σχολείο: Ωραιότατη εμπειρία με 42 ενθουσιώδη άτομα στο ακροατήριο.

Στο θέμα μας.

Για n=41

είναι $n^2+n+41=41^2+41+41= 41\times (41+1+1)=$ σύνθετος.

Τυχαίνει ο n=41

να μην είναι είναι ο μικρότερος με την εν λόγω ιδιότητα (να δίνει σύνθετο). Απλά γι' αυτόν τον

φαίνεται "από μακρυά" ότι o n^2+n+41

είναι σύνθετος. Ο μοναδικός μικρότερος βγαίνει να είναι ο n=40

.

To γεγονός ότι για

από

έως

παίρνουμε μόνο πρώτους αριθμούς είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτο, και ελέγχεται μόνο "χειρωνακτικά", με πράξεις, πράξεις, πράξεις.

Το πολυώνυμο αυτό το κατασκεύασε ο Euler. Στο φόρουμ μας είναι γνώριμο, π.χ είναι αναφερθεί σε αυτό στο ποστ #1687 εδώ.

min## · #8

Να πούμε ότι είχε μπει πρόβλημα σε Imo(28η) πριν αρκετά χρόνια που ζητούσε να δειχτεί ότι αν ο αριθμός k^2+k+n

είναι πρώτος για $0\leq k\leq \sqrt{\frac{n}{3}}$ τότε είναι πρώτος και για $0\leq k\leq n-2$ .Αυτό δείχνει ότι ουσιαστικά χρειάζονται 4 "πράξεις-περιπτώσεις"-μαζί με την τετριμμένη k=0

..

panagiotis iliopoulos · #9

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ και ζητώ και πάλι συγγνώμη για την καθυστέρηση. Εγώ προσπάθησα να γενικεύσω το πρόβλημα. Θεώρησα ότι επειδή ο 41 είναι πρώτος το πρόβλημα μπορεί να γενικευθεί ως εξής: Να βρεθούν οι φυσικοί n για τους οποίους ο $n^{2}+n+p$ είναι πρώτος(προφανώς για n=p

και για

είναι σύνθετος), αλλά δεν λυνόταν έτσι. Και πάλι σας ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 15, 2018 3:25 pm
Καλησπέρα σας. Συνάντησα ένα πρόβλημα με την εκφώνηση:
Ισχύει ότι για οποιονδήποτε φυσικό ο αριθμός $n^{2}+n+41$ είναι πρώτος;
Επειδή αδυνατώ να το λύσω, παρακαλώ όποιον μπορεί να δώσει μία λύση.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lucky_numbers_of_Euler

Τα παρακάτω είναι από το καταπληκτικό βιβλίο
Matters Mathematical
I.N.Herstein -I.Kaplansky
(σελ 38)

Ο αριθμός

λέγεται lucky number αν

για n=0,1,..m-1

ο αριθμός $n^{2}-n+m$ είναι πρώτος

η ισοδύναμα

για n=0,1,..m-2

ο αριθμός $n^{2}+n+m$ είναι πρώτος

( $(n+1)^{2}-(n+1)+m=n^{2}+n+m$ )

Κάνοντας πράξεις μπορεί να διαπιστωθεί ότι οι αριθμοί

2,3,5,11,17,41

είναι lucky number.

Το 1934 οι H.Heilbroun,E.N.Linfoot
απέδειξαν ότι υπάρχει το πολύ ακόμα ένας lucky number εκτός των παραπάνω.

Το 1967 ο H.M.Stark απέδειξε ότι είναι μόνο οι παραπάνω.

#11

Καλησπέρα σε όλους. Ένα παρόμοιο θέμα βρίσκεται στο βιβλίο της κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στην ύλη της Μαθηματικής Επαγωγής, (η οποία ύλη φαίνεται ότι είναι πλέον άχρηστη για τα Λύκειά μας).

: Απόδειξη 1.jpg (128.42 KiB) Προβλήθηκε 2250 φορές

Λ. Αδαμόπουλος κ.α., Μαθηματικά Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Β΄ Γενικού Λυκείου, Εκδόσεις ΙΤΥΕ Διόφαντος, 2016, σ. 137

Αυτό το θέμα το χρησιμοποιήσαμε στο βιβλίο "Οδός Μαθηματικής Σκέψης" στην ενότητα που αναφερόμαστε στην αναγκαιότητα της απόδειξης κάθε μαθηματικής πρότασης.

: Απόδειξη 2.jpg (153.64 KiB) Προβλήθηκε 2250 φορές

Με την ευκαιρία, μια παράκληση προς όσους έχουν το βιβλίο να κάνουν μια μικρή διόρθωση, που υπέδειξε ο αγαπητός φίλος Γιώργος Μπαλόγλου. Στη σελίδα 135, αράδα 2, το 41 ας γίνει 40 (όπως στην παραπάνω εικόνα).

#12

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 09, 2018 8:19 pm
Με την ευκαιρία, μια παράκληση προς όσους έχουν το βιβλίο να κάνουν μια μικρή διόρθωση, που υπέδειξε ο αγαπητός φίλος Γιώργος Μπαλόγλου. Στη σελίδα 135, αράδα 2, το 41 ας γίνει 40 (όπως στην παραπάνω εικόνα).

Γιώργο κλασικό το παράδειγμα, νομίζω το είχα πρωτοδεί στην Άλγεβρα του Κανέλλου! Όντως πολύ κοντά το 40 στο 41

Πρώτος αριθμός

Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Re: Πρώτος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση