Ακέραιο εμβαδόν

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους. Προσωπική σύνθεση με βάση δύο θέματα :
Ένα παλαιό του Θανάση (KARKAR) κι' ένα ..παλαιότερο του Μιχάλη Νάννου !

: Ακέραιο Εμβαδόν.PNG (9.01 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές

Θεωρούμε το τρίγωνο ABC

με

και το σημείο

της πλευράς

ώστε $\widehat{ACE}=40^{0}$ .

Το

ανήκει στην ημιευθεία

ώστε $BI \perp CE$ . Αν ισχύουν CE=AB

και $AB^{2}+AB\cdot BE =16 cm^{2}$ τότε :

Να εξεταστεί αν το $\left ( BIC \right )$ είναι (σε $cm^{2}$ ) ακέραιος αριθμός .

Όποιος βρεί σωστή διαδρομή προς τη λύση , μάλλον θα κρίνει ότι το παρόν θέμα χωράει και σε ..ελαφρύτερο φάκελο !
Σας ευχαριστώ ... Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Σεπ 18, 2018 12:54 am Καλημέρα σε όλους. Προσωπική σύνθεση με βάση δύο θέματα :
Ένα παλαιό του Θανάση (KARKAR) κι' ένα ..παλαιότερο του Μιχάλη Νάννου !
Ακέραιο Εμβαδόν.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο με και το σημείο της πλευράς ώστε $\widehat{ACE}=40^{0}$ .

Το ανήκει στην ημιευθεία ώστε $BI \perp CE$ . Αν ισχύουν και $AB^{2}+AB\cdot BE =16 cm^{2}$ τότε :

Να εξεταστεί αν το $\left ( BIC \right )$ είναι (σε $cm^{2}$ ) ακέραιος αριθμός .

Σας ευχαριστώ ... Γιώργος.

Καλημέρα!

Έστω

ύψος του τριγώνου ACE

και

το ύψος του τριγώνου IBC.

: Ακέραιο Εμβαδόν...png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

$\displaystyle AB(AB + BE) = 16 \Leftrightarrow CE(CE + BE) = 16 \Leftrightarrow$ $\boxed{C{E^2} + CE \cdot BE = 16}$ (1)

Θεώρημα αμβλείας στο BEC:

$16 = B{E^2} + C{E^2} + 2BE \cdot EZ\mathop = \limits^{(1)} C{E^2} + CE \cdot BE \Leftrightarrow$

$2EZ = CE - BE = AB - BE \Leftrightarrow 2EZ = AE.$ Άρα το

είναι μέσο του AE,

οπότε

και προφανώς $E\widehat CB=15^\circ.$ Τότε όμως από γνωστή άσκηση

του σχολικού βιβλίου Α' Λυκείου, είναι $\displaystyle IH = \frac{{BC}}{4}$ και εύκολα τώρα $\boxed{(BIC)=2 cm^2}$

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Όποιος βρεί σωστή διαδρομή προς τη λύση , μάλλον θα κρίνει ότι το παρόν θέμα χωράει και σε ..ελαφρύτερο φάκελο !

Πράγματι, Γιώργο, θα χωρούσε και σε φάκελο Θαλή-Ευκλείδη ή ακόμα και σε φάκελο Β' Λυκείου.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Σεπ 18, 2018 12:54 am Καλημέρα σε όλους. Προσωπική σύνθεση με βάση δύο θέματα :
Ένα παλαιό του Θανάση (KARKAR) κι' ένα ..παλαιότερο του Μιχάλη Νάννου !
Ακέραιο Εμβαδόν.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο με και το σημείο της πλευράς ώστε $\widehat{ACE}=40^{0}$ .

Το ανήκει στην ημιευθεία ώστε $BI \perp CE$ . Αν ισχύουν και $AB^{2}+AB\cdot BE =16 cm^{2}$ τότε :

Να εξεταστεί αν το $\left ( BIC \right )$ είναι (σε $cm^{2}$ ) ακέραιος αριθμός .

Όποιος βρεί σωστή διαδρομή προς τη λύση , μάλλον θα κρίνει ότι το παρόν θέμα χωράει και σε ..ελαφρύτερο φάκελο !
Σας ευχαριστώ ... Γιώργος.

Στην προέκταση της $\displaystyle BA$ έστω σημείο $\displaystyle Z$ με $\displaystyle AZ = BE$

$\displaystyle A{B^2} + AB \cdot BE = 16 \Leftrightarrow AB\left( {AB + BE} \right) = 16 \Leftrightarrow AB \cdot BZ = B{C^2}$

Άρα, $\displaystyle BC$ εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle \vartriangle AZC$ οπότε $\displaystyle \angle Z = \angle ACB$

Αλλά $\displaystyle ZE = AB = EC \Rightarrow \angle Z = \angle ZCE$ .Έτσι, $\displaystyle \angle ACB = \angle ZCE \Rightarrow x = y$

Ακόμη, $\displaystyle 2\left( {EBC} \right) = 2\left( {ZAC} \right)$ άρα $\displaystyle ZC \cdot AC \cdot \sin x = EC \cdot BC \cdot \sin y \Leftrightarrow \frac{{ZC}}{{EC}} = \frac{{BC}}{{AC}}$

κι επειδή $\displaystyle \angle ECZ = \angle ACB$ θα είναι $\displaystyle \vartriangle ZEC \cong \vartriangle ABC \Rightarrow \angle EAC = \angle AEC = {70^0}$ και $\displaystyle \vartriangle ABC$ ισοσκελές ,άρα $\displaystyle \boxed{\angle y = {{15}^0}}$

Αν τώρα $\displaystyle M$ μέσον της $\displaystyle BC$ θα είναι $\displaystyle \boxed{\left( {BIC} \right) = 2\left( {IMB} \right) = 2 \cdot 2 \cdot \sin {{30}^0} = 2c{m^2}}$

: ακέραιο εμβαδόν.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ. Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Μιχάλη για τις κομψές λύσεις !
Τα παλαιά θέματα που ανέφερα και πριν είναι ΑΥΤΟ και ΑΥΤΟ

Συμβαίνει συχνά η διαδρομή προς τη λύση νέου θέματος που βασίζεται σε άλλα δύο
να είναι (πολύ) συντομότερη από το άθροισμα των διαδρομών για τη λύση των δύο παλαιών...
Φιλικά Γιώργος.

#5

Προς το μέρος του

πάνω στην προέκταση του

θεωρώ σημείο

, ώστε

. Τότε η σχέση που δίδεται γράφεται :

$BA \cdot BD = 16 = B{C^2}$ που μας εξασφαλίζει ότι η

εφάπτεται του κύκλου (A,D,C)

.

Αν τώρα

το σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου

με τη

θα έχω :

1. $CM \bot BD$ και

2. $\widehat D = 40^\circ + \widehat \phi$ , αφού ED = EC = AB

3. $\widehat D = 40^\circ + \widehat \omega$ , υπό χορδής κι εφαπτομένης

: Ακέραιο εμβαδόν_new.png (34.17 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

Δηλαδή $\boxed{\widehat \omega = \widehat \phi }$ . Αναγκαστικά θα είναι $\vartriangle EBC = \vartriangle ADC$ γιατί έχουν: ίσες βάσεις $AD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB$ , ίσους περιγεγραμμένους κύκλους και κοινό ύψος

.

Μετά απ’ αυτά αβίαστα προκύπτουν ισοσκελή και τα $\vartriangle CAE \to (40^\circ ,70^\circ ,70^\circ ),\,\,\,\,\vartriangle \,ABC \to (70^\circ ,55^\circ ,55^\circ )$ .

Άρα $\boxed{\widehat \omega = 15^\circ }$ , οπότε $\displaystyle \boxed{(IBC) = 2}$ .

Ακέραιο εμβαδόν

Ακέραιο εμβαδόν

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση