Bolzano

Λάμπρος Μπαλός · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R \rightarrow R$ , με
$f(x)=x^{5}-8x^{2}+1$ και $g(x)=x^{3}-5x-9$ .

Να αποδείξετε ότι :

i. υπάρχει $x_{1} \in (1,2)$ τέτοιο, ώστε $f(x_{1})=0$ .

ii. υπάρχει $x_{2} \in (2,3)$ τέτοιο, ώστε $g(x_{2})=0$ .

iii. υπάρχει $x_{3} \in (x_{1},x_{2})$ τέτοιο, ώστε $\frac{1}{f(x_{3})}+ \frac{1}{g(x_{3})}=0$ .

Ratio · #2

Οι συναρτήσεις f(x),g(x)

είναι συνεχείς ως πολυωνυμικές συναρτήσεις
$f(x)=x^{5}-8x^{2}+1=x^{2}(x^{3}-8)+1$
$g(x)=x^{3}-5x-9=(x^{3}-8)-(5x+1)$

(i) H f(x)

είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [1,2]

με

και

, άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{1} \in (1,2) : f(x_{1})=0$

(ii) H g(x)

είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [2,3]

με

και

, άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{2} \in (2,3) : g(x_{2})=0$

(iii) Η δοθείσα θεωρώντας την ισοδύναμη συνάρτηση $h(x)=\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{g(x)}=\frac{f(x)+g(x)}{f(x)g(x)}$ οδηγεί στην εύρεση ρίζας εντός του διαστήματος $(x_{1},x_{2})$ της συνεχούς ως πολυωνυμικής p(x)=f(x)+g(x)

, με τύπο $p(x)=f(x)+g(x) =(x^{3}-8)(x^{2}+1)-5x$

Εύκολα βλέπουμε ότι p(2)=-10

και αφού η $p(x)=(x-2)(x^{2}+2x+4)(x^{2}+1)-5x <0$ για $x\in(x_{1},2)$ ως άθροισμα αρνητικών ποσοτήτων , αναζητούμε το πρόσήμο της για $x=x_{2}$ όπου $p(x_{2})=f(x_{2})+g(x_{2}) = f(x_{2})$ καθώς $g(x_{2})=0$ . H $f(x) \uparrow$ με $x_{1}<x_{2}$ , τότε $f(x_{1})<f(x_{2}) \Leftrightarrow f(x_{2})=p(x_{2})>0$
άρα σύμφωνα με το θ. Bolzano υπάρχει $x_{3} \in (2,x_{2})\subset (x_{1},x_{2}) : p(x_{3})=0$

Σημείωση: αφήνω τις παραγοντοποιήσεις αφενός γιατί διευκολύνουν τους υπολογίσμούς . Θέλω να σας πω ότι προσπάθησα μέσω αυτών να αποδείξω το πρόσημο της p(x), x>2

αλλά δεν είχα σαφαλή συμπεράσματα. Τώρα αν κάποιος έχει ιδέα για το αν θα βοηθήσουν με χαρά μου να τη δω. Ευχαριστώ

#3

$\displaystyle{f(1)<0,f(2)>0}$ το ΘΒ δίνει $\displaystyle{f(x_1)=0,x_1\in (1,2)}$

$\displaystyle{g(2)<0,g(3)>0}$ το ΘΒ δίνει $\displaystyle{g(x_2)=0,x_2\in (2,3)}$

$\displaystyle{\lim_{x\to x_1+}{\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{g(x)}}=\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x\to x_2-}{\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{g(x)}}=-\infty}$

αρα υπάρχουν $\displaystyle{x_3,x_4\in (x_1,x_2):\frac{1}{f(x_4)}+\frac{1}{g(x_4)}<0,\frac{1}{f(x_3)}+\frac{1}{g(x_3)}>0}}$ με ΘΒ το ζητούμενο

Συμπλήρωση
$\displaystyle{f''(x)=20x^3-16>0 , 1<x<3}$ άρα $\displaystyle{f'\uparrow}$ θα δείξω ότι $\displaystyle{f'(x_1)>0}$ η $\displaystyle{x^3_1>16/5}$

Αν $\displaystyle{x^3_1\le 16/5}$ τοτε $\displaystyle{0=x^5_1-8x^2_1+1<-24/5x^2_1+1}$ συνεπώς $\displaystyle{x^2_1<5/24<1}$ Άτοπο αφού $\displaystyle{1<x_1<2}$

Τότε Η $\displaystyle{C_f}$ βρίσκεται άνωθεν της εφαπτομένης στο $\displaystyle{x_1}$ που έχει θετικές τεταγμένες για $\displaystyle{x>x_1}$ άρα $\displaystyle{f(x)>0}$

Ανάλογα κοντά στο $\displaystyle{x_2}$

Λάμπρος Μπαλός · #4

Εναλλακτικά, για το iii,
αφού εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση p(x)=f(x)+g(x)

στο διάστημα $[x_{1},x_{2}]$ (αρκετά εύκολο αυτό), υπάρχει λοιπόν $x_{3} \in (x_{1},x_{2})$ , ώστε $f(x_{3})+g(x_{3})=0$ , υποθέτουμε ότι $f(x_{3})=0$ , άρα και $g(x_{3})=0$ , που καταλήγει σε άτοπο.
Διαιρώντας με $f(x_{3})g(x_{3})$ , παίρνουμε το ζητούμενο.

Bolzano

Bolzano

Re: Bolzano

Re: Bolzano

Re: Bolzano

Μέλη σε σύνδεση