Παραθέτω παρακάτω μερικά ενδεικτικά θέματα. Από αυτά που έχω παραλείψει αρκετά είναι με θέμα πιθανότητες/συνδιαστική (δύσκολα στη μετάφραση), άλλα με επίλυση εξισώσεων, διανύσματα, γεωμετρία, ανάλυση. Στο σύνολο η εξέταση έχει 30 ερωτήματα με μέγιστο βαθμό τα 100 μόρια. Κάποια ερωτήματα είναι πολλαπλής επιλογής (ανάμεσα σε 5 επιλογές) και στα υπόλοιπα ζητείτε μόνο η τελική απάντηση, από ότι έχω καταλάβει. Διάρκεια εξέτασης 100 λεπτά.
14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου
και της ευθείας 
φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
- korean_exam_2019_pr14.png (45.44 KiB) Προβλήθηκε 2516 φορές
; [4 μόρια]16. Η συνεχής συνάρτηση
που ορίζεται για 
, για όλα τα θετικά 
ικανοποιεί την σχέση
.Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος
; [4 μόρια]25. Βρείτε την τιμή του
. [4 μόρια]28. Δίνεται η έλλειψη
με εστίες τα σημεία 
. Η ευθεία 
τέμνει την έλλειψη σε σημείο 
με θετική 
συντεταγμένη, όπου 
σημείο του κύκλου 
. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος 
. [4 μόρια]
- korean_exam_2019_pr28.png (41.7 KiB) Προβλήθηκε 2516 φορές
29. Δίνεται τρίγωνο
εμβαδού 
και έστω 
και 
σημεία που κινούνται στις πλευρές 
και 
, αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία 
του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση
προς το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσος με
. Να βρείτε την τιμή του 
. (όπου 
πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]Πηγή
και έχω: 
την αρχική σχέση με 
και τις προσθέτω κατά μέλη, απ' όπου παίρνω:
Το ζητούμενο λοιπόν ολοκλήρωμα γράφεται:![\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{2}{{3{x^2}}} - \frac{1}{3}} \right)} dx = \left[ {\frac{{\ln x}}{3} - \frac{2}{{3x}} - \frac{x}{3}} \right]_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{{\ln 2}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + \frac{{\ln 2}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{{4\ln 2 + 3}}{6}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4880ddd3d12e6c7be445b4878fac88fa.png "\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{2}{{3{x^2}}} - \frac{1}{3}} \right)} dx = \left[ {\frac{{\ln x}}{3} - \frac{2}{{3x}} - \frac{x}{3}} \right]_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{{\ln 2}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + \frac{{\ln 2}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{{4\ln 2 + 3}}{6}")
![\displaystyle \int_0^\pi {x\cos (\pi - x)dx} = - \int_0^\pi {x\cos xdx} = - \int_0^\pi {x(\sin x)'dx} = \left[ { - x\sin x} \right]_0^\pi + \int_0^\pi {\sin xdx}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a5761f5f2c3bfe2ee5c99eaba64199c9.png "\displaystyle \int_0^\pi {x\cos (\pi - x)dx} = - \int_0^\pi {x\cos xdx} = - \int_0^\pi {x(\sin x)'dx} = \left[ { - x\sin x} \right]_0^\pi + \int_0^\pi {\sin xdx}")
![\displaystyle = \left[ { - \cos x} \right]_0^\pi = - \cos \pi + \cos 0 = 2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b3063f359d73178f21c3e60795dc82f6.png "\displaystyle = \left[ { - \cos x} \right]_0^\pi = - \cos \pi + \cos 0 = 2")
και 
Από το σχήμα προκύπτει ότι 
Επίσης, 
άρα 
Έχουμε λοιπόν 
![\displaystyle x \in ( - \infty ,1] \cup [3,5].](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3536b00990f43fbe8427c76d787a1de8.png "\displaystyle x \in ( - \infty ,1] \cup [3,5].")
Το ζητούμενο άθροισμα είναι 
, παρατηρούμε ότι η έκφραση 
είναι η γραφική παράσταση της 
και 
. Η 
διέρχεται από το σημείο 
. Απλή εποπτεία του σχήματος μας δίνει ότι η ανίσωση στα σημεία 
ισχύει σαν ισότητα και στο σημείο 
γνήσια, με συνολικό άθροισμα αυτών 
.
το παραλληλόγραμμο μεταφέρεται κατά το διάνυσμα 
.
κ.λπ.