Σταθερό πολυώνυμο

#1

Να αποδειχθεί ότι αν για το πολυώνυμο $p \in\mathbb{R}_n[x]$ ισχύει p(x+1)=p(x)

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , τότε το

είναι σταθερό.

Μέχρι 15/2/2019

#2

grigkost έγραψε: Κυρ Φεβ 10, 2019 10:58 am Να αποδειχθεί ότι αν για το πολυώνυμο $p \in\mathbb{R}_n[x]$ ισχύει , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , τότε το είναι σταθερό.

Για να κλείνει: Η υπόθεση δίνει p(0)=p(1)=p(2)=...

. Άρα το

έχει άπειρες ρίζες (όλους τους φυσικούς), συνεπώς είναι σταθερό. Και λοιπά.

#3

Ακόμα μια: Από την συνθήκη p(x+1)=p(x)

το

είναι περιοδική συνάρτηση και επειδή είναι και συνεχής, πρέπει να είναι φραγμένη. Όμως τα μη-σταθερά πολυώνυμα έχουν $\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty\,.$ Επομένως...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να σημειώσω το ότι έχουμε το $\mathbb{R}$ χρειάζεται για να έχουμε άπειρο σώμα.

Αν το σώμα είναι πεπερασμένο δεν ισχύει.
π.χ
Αν έχουμε το $\mathbb{Z}_{2}$

και πάρουμε $p(x)=x^{2}+x+1$

τότε τα πολυώνυμα p(x),p(x+1)

είναι ίσα και ως πολυώνυμα.

Σταθερό πολυώνυμο

Σταθερό πολυώνυμο

Re: Σταθερό πολυώνυμο

Re: Σταθερό πολυώνυμο

Re: Σταθερό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση