Ελάχιστη απόσταση

Συντονιστής: emouroukos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2638
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ελάχιστη απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 11, 2019 10:09 pm

Με αφορμή αυτό
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 53&t=63835

Εστω I,J ανοικτά διαστήματα και

f:I\rightarrow \mathbb{R},g:J\rightarrow \mathbb{R}

παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε C_{f}\cap C_{g}= \o

Εστω A=(x_{1},f(x_{1}))\in C_{f},B=(x_{2},g(x_{2}))\in C_{g}

Αν για κάθε \Gamma \in C_{f},\Delta \in C_{g}

είναι \left \| \Gamma -\Delta \right \|\geq \left \| A-B \right \|
(δηλαδή στα A,B πιάνεται η μικρότερη απόσταση)

τότε οι εφαπτομένες των  C_{f}, C_{g} στα A,B αντίστοιχα είναι παράλληλες

και το διάνυσμα (x_{1}-x_{2},f(x_{1})-g(x_{2}))

είναι κάθετο σε αυτές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 983
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Φεβ 12, 2019 10:28 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Φεβ 11, 2019 10:09 pm
Με αφορμή αυτό
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 53&t=63835

Εστω I,J ανοικτά διαστήματα και

f:I\rightarrow \mathbb{R},g:J\rightarrow \mathbb{R}

παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε C_{f}\cap C_{g}= \o

Εστω A=(x_{1},f(x_{1}))\in C_{f},B=(x_{2},g(x_{2}))\in C_{g}

Αν για κάθε \Gamma \in C_{f},\Delta \in C_{g}

είναι \left \| \Gamma -\Delta \right \|\geq \left \| A-B \right \|
(δηλαδή στα A,B πιάνεται η μικρότερη απόσταση)

τότε οι εφαπτομένες των  C_{f}, C_{g} στα A,B αντίστοιχα είναι παράλληλες

και το διάνυσμα (x_{1}-x_{2},f(x_{1})-g(x_{2}))

είναι κάθετο σε αυτές.
Δε ξέρω κατά πόσο αυστηρά είναι τα παρακάτω, αλλά ας έχει...

Θεωρούμε το ισοδύναμο πρόβλημα \min \{ h(t)=h(t_{1},t_{2},t_{3},t_{4})=(t_{1}-t_{2})^2 +(t_{3}-t_{4})^2 \} υπό τους περιορισμούς

t_{3}-f(t_{1})=0
t_{4}-g(t_{2})=0

Από την διατύπωση του προβλήματος και το γεγονός, ότι τα διαστήματα είναι ανοιχτά, συμπεράνουμε ότι το σημείο \hat{t}=\left (x_{1},x_{2},f(x_{1}), g_(x_{2}) \right ) είναι στάσιμο σημείο της συνάρτησης h(t). Άρα θα πρέπει να ικανοποιεί το θεώρημα του (των πολλαπλασιαστών) Lagrange. Δηλαδή το σύστημα

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 
\frac{\partial  \mathcal{L} (\hat{t})}{\partial t_{1}} =0 
\\ 
 \frac{\partial  \mathcal{L} (t)}{\partial t_{2}} =0 
\\ 
 \frac{\partial  \mathcal{L} (t)}{\partial t_{3}} = 0 
\\  
\frac{\partial  \mathcal{L} (t)}{\partial t_{4}} = 0 
\end{matrix}\right.

, όπου \displaystyle \mathcal{L} \left (\hat{t} \right) =(t_{1}-t_{2})^2 +(t_{3}-t_{4})^2+\lambda_{1}(t_{3}-f(t_{1}))+\lambda_{2}(t_{4}-g(t_{2})) και \lambda_{1}^2 +\lambda_{2}^2 \neq 0, να έχει λύση. Το σύστημα ισοδύναμα γράφεται

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 
2t_{1}-2t_{2} -\lambda_{1}f^{\prime}(t_{1})=0 
\\ 
-2t_{1}+2t_{2} -\lambda_{2}g^{\prime}(t_{2})=0 
\\ 
 2t_{3} -2t_{4}+\lambda_{1}=0 
\\  
-2t_{3} +2t_{4}+\lambda_{2}=0 
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
f^{\prime}(t_{1})=\dfrac{2t_{1}-2t_{2}}{\lambda_{1}} 
\\ 
g^{\prime}(t_{2})=-\dfrac{2t_{1}-2t_{2}}{\lambda_{2}} 
\\ 
 \lambda_{1}=-(2t_{3} -2t_{4}) 
\\  
\lambda_{2}=(2t_{3} -2t_{4}) 
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
f^{\prime}(t_{1})=-\dfrac{t_{1}-t_{2}}{t_{3} -t_{4}} 
\\ 
g^{\prime}(t_{2})=-\dfrac{t_{1}-t_{2}}{t_{3} -t_{4}} 
\\ 
 \lambda_{1}=-(2t_{3} -2t_{4}) 
\\  
\lambda_{2}=(2t_{3} -2t_{4}) 
\end{matrix}\right.

Οπότε στο στάσιμο σημείο \left (x_{1},x_{2},f(x_{1}), g_(x_{2}) \right ) θα έχουμε f^{\prime}(x_{1}) = g^{\prime}(x_{2}). Αρά οι εφαπτομένες είναι παράλληλες.

Θεωρούμε το διάνυσμα \displaystyle \left ( 1, f^{\prime}(x_{1}) \right )  = \left ( 1, g^{\prime}(x_{2}) \right ) = \left ( 1, -\dfrac{x_{1} -x_{2}}{f(x_{1})-g(x_{2})} \right ), το διάνυσμα αυτό είναι παράλληλο προς τις εφαπτομένες. Το εσωτερικό γινόμενό του με το διάνυσμα (x_{1}-x_{2},f(x_{1})-g(x_{2})) είναι

(x_{1}-x_{2},f(x_{1})-g(x_{2})) \cdot \left ( 1, -\dfrac{x_{1} -x_{2}}{f(x_{1})-g(x_{2})} \right ) = x_{1}-x_{2}-x_{1}+x_{2} =0 . Δηλαδή τα διανύσματα είναι κάθετα, επομένως και κάθετο προς τις εφαπτομένες.

Να σημειώσουμε, ότι στη λύση του παραπάνω συστήματος, κάποιο από τα \lambda, δεν μπορεί να είναι μηδέν, γιατί από την εκφώνηση οι γραφικές παραστάσεις δεν τέμνονται.


χρηστος ευαγγελινος

Re: Ελάχιστη απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστος ευαγγελινος » Τρί Φεβ 12, 2019 11:22 pm

Δίνω μόνο την ιδέα λόγω αδυναμίας πληκτρολόγησης σε latex .

1) Ορίζω δύο συναρτήσεις απόστασης, μία την απόσταση του τυχόντος Μ της Cf από το Β, και μία του τυχόντος Ν της Cg από το Α.
2) Αυτές οι δύο συναρτήσεις ελαχιστοποιούνται εξ' υποθέσεως, η πρώτη στο x1 , και η άλλη στο x2.
3) Από το θεώρημα του fermat οι παράγωγοι των δύο συναρτήσεων μηδενίζουν, η πρώτη στο x1 , και η άλλη στο x2. Από αυτό προκύπτει η ζητούμενη παραλληλία των εφαπτομένων. (Μπορούμε να εργαστούμε με τα τετράγωνα των συναρτήσεων για να γλιτώσουμε τις ρίζες στην παραγώγιση)
4) Από το βήμα 3, δε προκύπτει απλώς η ισότητα των παραγώγων στα x1 , x2, αλλά και ποια είναι η κλίση των εφαπτομένων. Από εκεί αποδεικνύεται άμεσα και η ζητούμενη καθετότητα του εν λόγω διανύσματος στις δύο (παράλληλες πλέον) εφαπτομένες.

Νομίζω ότι σκιαγράφησα μια σχολική λύση.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2676
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη απόσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Φεβ 16, 2019 1:41 pm

Ας το δούμε και γεωμετρικά:

Προφανώς η παραλληλία των εφαπτομένων έπεται άμεσα από την καθετότητα προς αυτές του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν τα δύο σημεία που αντιστοιχούν στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις δύο καμπύλες. Αρκεί επομένως να δείξουμε, περνώντας από τις δύο καμπύλες ατην μία, ότι η ελάχιστη απόσταση σημείου P από δοθείσα καμπύλη ισούται προς |PQ|, όπου Q σημείο επί της καμπύλης όπου η εφαπτομένη της είναι κάθετη προς την PQ.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η ελάχιστη απόσταση του P από την καμπύλη ισούται προς |PQ|, όπου Q σημείο επί της καμπύλης τέτοιο ώστε η εφαπτομένη εκεί να μην είναι κάθετη προς την PQ. Υπάρχει τότε σημείο R επί της καμπύλης (και προς την 'καλή' πλευρά της εφαπτομένης) τέτοιο ώστε \angle PQR<\angle QRP ... οπότε |PR|<|PQ|, άτοπο. (Αν υπάρχει σημείο R επί της καμπύλης προς την 'άλλη' πλευρά της εφαπτομένης και εντός του τριγώνου P'PQ, όπου P' η προβολή του P επί της εφαπτομένης (βλέπε συνημμένο) τότε η |PR|<|PQ| είναι άμεση.)

Για την ύπαρξη σημείου R με την παραπάνω ιδιότητα (\angle PQR<\angle QRP) αρκεί να παρατηρήσουμε ότι καθώς το σημείο R πλησιάζει 'αρκετά' προς το Q (έτσι ώστε να ισχύει η \theta <\angle PQR<\theta +\dfrac{\epsilon}{2}, όπου \theta =90^0-\epsilon η οξεία γωνία ανάμεσα στην εφαπτομένη και την PQ) και η \angle QPR πλησιάζει προς το μηδέν (έτσι ώστε \angle QPR<\epsilon) ... ισχύει η \angle PQR<\theta +\dfrac{\epsilon}{2}=90^0-\dfrac{\epsilon}{2}<90^0-\dfrac{\angle QPR}{2}, άρα και η \angle PQR<\angle QRP.

[Το ότι υπάρχει R επί της καμπύλης ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι \theta <\angle PQR<\theta +\dfrac{\epsilon}{2} και \angle QPR<\epsilon μπορεί να δικαιολογηθεί περαιτέρω και ως εξής: ορίζουμε ακολουθία σημείων R_n επί της καμπύλης έτσι ώστε να ισχύει η \angle QPR_n<\dfrac{\epsilon}{2^n} για κάθε n, οπότε ... αν δεν υπάρχει n τέτοιο ώστε να ισχύει ταυτόχρονα και η \theta <\angle PQR_n<\theta +\dfrac{\epsilon}{2} τότε ... ισχύει η lim {\angle PQR_n}\geq \theta +\dfrac{\epsilon}{2}>\theta αν και lim{R_n}=Q, κάτι που αντίκειται στον ορισμό της εφαπτομένης.]


εφαπκαθ.png
εφαπκαθ.png (8.13 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης