Eμβαδά τετράπλευρο

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ τέτοια ώστε $\displaystyle{ \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{\Delta {\rm Z}}} }$ .
Αν $\displaystyle{ S }$ , $\displaystyle{ S_1 }$ και $\displaystyle{ S_2 }$ είναι τα εμβαδά των τριγώνων ΓΕΔ, ΒΓΖ και ΑΔΖ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ S = S_1 + S_2 }$

#2

Μία λύση στην άσκηση του Σπύρου. Οι μαθητές που θα διαβάσουν την απάντηση κατανοούν ασφαλώς ότι για να τη λύσουμε ξεκινάμε "στο πρόχειρό μας" ανάποδα, από το ζητούμενο και φτάνουμε στην αναλογία που μας είναι απαραίτητη. Στη συνέχεια διατυπώνουμε τη λύση μας με τη σωστή σειρά.

: 06-04-2010 Geometry.png (33.35 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Φέρνουμε ΑΚ, ΕΛ και ΒΜ κάθετες στην ευθεία της ΓΔ.
Φέρνουμε παράλληλη στη ΓΔ από το Β που τέμνει την ΕΛ στο Ν και από το Ε παράλληλη στη ΓΔ που τέμνει την ΑΚ στο Τ.

Τα ΒΕΝ και ΕΑΤ έχουν ΑΤ // ΕΝ, ΕΤ // ΒΝ και τις ΑΕ, ΕΒ συνευθειακές άρα είναι όμοια. Οπότε: $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm T}}}{{{\rm E}{\rm N}}} = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{B{\rm E}}}$

Είναι, από την υπόθεση: $\displaystyle \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{\Delta {\rm Z}}}\; \Rightarrow \frac{{{\rm A}{\rm T}}}{{E{\rm N}}} = \frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{\Delta {\rm Z}}}\; \Rightarrow \;{\rm A}{\rm T} \cdot \Delta {\rm Z} = {\rm E}{\rm N} \cdot \Gamma {\rm Z}$ (1)

Το ΜΒΛΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, άρα ΝΛ =ΒΜ, οπότε ΕΝ = ΕΛ -ΒΜ.
Ομοίως, ΑΤ =ΑΚ - ΕΛ.

Η (1) γράφεται:
$\displaystyle \begin{array}{l} {\rm A}{\rm K} \cdot \Delta {\rm Z} - {\rm E}\Lambda \cdot \Delta {\rm Z} = {\rm E}\Lambda \cdot \Gamma {\rm Z} - {\rm B}{\rm M} \cdot \Gamma {\rm Z} \\ \Rightarrow \frac{{{\rm A}{\rm K} \cdot \Delta {\rm Z}}}{2} + \frac{{{\rm B}{\rm M} \cdot \Gamma {\rm Z}}}{2} = \frac{{{\rm E}\Lambda \cdot \left( {\Gamma {\rm Z} + \Delta Z} \right)}}{2}\; \Rightarrow \;S_2 + S_1 = S \\ \end{array}$

Γιώργος Ρίζος

Ιστοσελίδα · #3

Μία ακόμα λύση στο ίδιο ύφος.
Δημιουργώ τα διπλάσιου εμβαδού παραλληλόγραμμα ΓΔΘΕ, ΓΖΙΒ και ΖΔΗΑ. Φέρνω τα ύψη ΕΛ, ΒΚ, ΑΜ και ισχύει: ΚΒ=ΛΝ=ΜΞ (1) , ΝΕ=ΞΟ (2) και ΛΕ=ΜΟ (3) (από τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που προκύπτουν). Από Θ.Θαλή ,από εκφώνηση και από τη σχέση (2) έχουμε: $\frac{{{\rm A}{\rm O}}}{{{\rm N}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm E}{\rm B}}} = \frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{{\rm Z}\Delta }}$ και με χιαστί παίρνω: $\Gamma {\rm Z} \cdot {\rm N}{\rm E} = {\rm Z}\Delta \cdot {\rm A}{\rm O}$ (4)
Από το σχήμα έχω:
$2S = \Gamma \Delta \cdot {\rm E}\Lambda = (\Gamma {\rm Z} + {\rm Z}\Delta ) \cdot {\rm E}\Lambda = \Gamma {\rm Z} \cdot {\rm E}\Lambda + {\rm Z}\Delta \cdot {\rm E}\Lambda \mathop = \limits^{(1),(2),(3)} \Gamma {\rm Z} \cdot ({\rm B}{\rm K} + {\rm N}{\rm E}) + {\rm Z}\Delta \cdot ({\rm A}{\rm M} - {\rm A}{\rm O}) = \Gamma {\rm Z} \cdot {\rm B}{\rm K} + \Gamma {\rm Z} \cdot {\rm N}{\rm E} + {\rm Z}\Delta \cdot {\rm A}{\rm M} - {\rm Z}\Delta \cdot {\rm A}{\rm O}\mathop = \limits^{(4)} 2{S_1} + 2{S_2}$
Επομένως: $S = {S_1} + {S_2}$

: embada.ggb.png (38.84 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

Eμβαδά τετράπλευρο

Eμβαδά τετράπλευρο

Re: Eμβαδά τετράπλευρο

Re: Eμβαδά τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση