Ολοκλήρωμα θήτα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\vartheta_2$ μία από τις συναρτήσεις θήτα του Jacobi. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} \vartheta_2\left ( 0;q \right ) \ln \frac{1}{q} \, \mathrm{d}q}$

Laplace-Gauss · #2

Ορίστε η λύση και σχετική ανάλυση του θέματος
https://math.stackexchange.com/question ... eta-n0-qdq

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Μαρ 26, 2019 6:19 pm Έστω $\vartheta_2$ μία από τις συναρτήσεις θήτα του Jacobi. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} \vartheta_2\left ( 0;q \right ) \ln \frac{1}{q} \, \mathrm{d}q}$

Μία λύση.

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \vartheta_2\left ( 0;q \right ) \ln \frac{1}{q} \, \mathrm{d}q &= - \int_{0}^{1} \vartheta_2 \left ( 0;q \right ) \ln q \; \mathrm{d}q \\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{1} q^{\left ( n+1/2 \right )^2} \ln q \;\mathrm{d}q \\ &=16 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n^2+4n+5 \right )^2} \\ &=\frac{\pi}{2} \left ( \tanh \pi - \frac{\pi}{\cosh^2 \pi} \right ) \end{aligned}}$
Η σειρά $\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n^2+4n+5 \right )^2} }$ αντιμετωπίζεται στοιχειωδώς με μιγαδική ανάλυση θεωρώντας τη συνάρτηση $\displaystyle{f(z) = \frac{\pi \cot \pi z}{(4z^2+4z+5)^2} }$ . Αν δε θέλει κάποιος τη μιγαδική, τότε η σειρά Fourier της e^x

δουλεύει επίσης.

Ολοκλήρωμα θήτα

Ολοκλήρωμα θήτα

Re: Ολοκλήρωμα θήτα

Re: Ολοκλήρωμα θήτα

Μέλη σε σύνδεση