Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

MathSc · #1

Μια ισοσταθμική επιφάνεια μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f(x, y, z)

έχει σε ένα σημείο της $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ εφαπτόμενο επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση 3x − 2y + 6z = 15

και $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq (0, 0, 0).$
Σε ποιές κατευθύνσεις $\nu$ από το $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ είναι δυνατόν να έχει η συνάρτηση (α) μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (β) ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (γ) μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής;

Αφού η επιφάνεια είναι ισοσταθμική, δηλαδή $f(x, y, z)= \kappa$ , τότε το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ βρίσκεται από την σχέση $\displaystyle{∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}) = 0 }$ , όπου $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο. Επίσης το διάνυσμα (3,-2,6)

είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο, άρα παράλληλο στο $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .
Οπότε για τα

πρώτα ερωτήματα απαντάμε ότι μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής συναντάμε στην κατεύθυνση του (3,-2,6)

(αφού είναι παράλληλο του $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ) και ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής στην κατεύθυνση του -(3,-2,6)

;

Επίσης για το ερώτημα (γ) εγώ ξέρω ότι μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό έχω στην κατεύθυνση του κάθετου διανύσματος στο $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . Είμαι σωστός; Και πώς θα το βρω;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

#2

MathSc έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2019 7:54 pm
Μια ισοσταθμική επιφάνεια μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης έχει σε ένα σημείο της $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ εφαπτόμενο επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση και $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq (0, 0, 0).$
Σε ποιές κατευθύνσεις $\nu$ από το $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ είναι δυνατόν να έχει η συνάρτηση (α) μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (β) ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (γ) μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής;

Αφού η επιφάνεια είναι ισοσταθμική, δηλαδή $f(x, y, z)= \kappa$ , τότε το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ βρίσκεται από την σχέση $\displaystyle{∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}) = 0 }$ , όπου $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο. Επίσης το διάνυσμα είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο, άρα παράλληλο στο $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .
Οπότε για τα πρώτα ερωτήματα απαντάμε ότι μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής συναντάμε στην κατεύθυνση του (αφού είναι παράλληλο του $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ) και ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής στην κατεύθυνση του ;...

Σωστά. Οι δυο κατευθύνσεις στις οποίες έχουμε μέγιστο και ελάχιστο ρυθμό μεταβολής είναι οι κατευθύνσεις των (3,-2,6)

και

. Μπορούμε όμως να γνωρίζουμε σε ποιά από τις δυο έχουμε την μέγιστη και σε ποιά την ελάχιστη;

MathSc έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2019 7:54 pm
..Επίσης για το ερώτημα (γ) εγώ ξέρω ότι μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό έχω στην κατεύθυνση του κάθετου διανύσματος στο $∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . Είμαι σωστός; Και πώς θα το βρω;

Αφού η επιφάνεια στάθμης είναι τρισδιάστατη, αρκεί να βρεθεί ο διανυσματικός χώρος (διάστασης 2) που είναι κάθετος στο διάνυσμα $\nabla f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . Ποιός είναι αυτός;

MathSc · #3

Δεν μου έρχεται κάποιος τρόπος για να βρω σε ποια κατεύθυνση έχουμε μέγιστη και σε ποια ελάχιστη. Ασυνείδητα επέλεξα το

και το

.
Να πάρω περιπτώσεις;
Όσον αφορά το τελευταίο ερώτημα η απάντηση είναι όλο το εφαπτόμενο επίπεδο; Γιατί κάθε διάνυσμα του επιπέδου αυτού είναι κάθετο στο $\bigtriangledown f(x_{0},y_{0},z_{0})$ .

#4

MathSc έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 14, 2019 1:35 am
Δεν μου έρχεται κάποιος τρόπος για να βρω σε ποια κατεύθυνση έχουμε μέγιστη και σε ποια ελάχιστη. Ασυνείδητα επέλεξα το και το .
Να πάρω περιπτώσεις;

Η εκφώνηση λέει "Σε ποιές κατευθύνσεις $\nu$ από το $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ είναι δυνατόν..." επειδή από τα δεδομένα δεν είναι εφικτή η ακριβής κατεύθυνση. Επομένως στις κατευθύνσεις (3,-2,6)

και

έχουμε, είτε μέγιστη και ελάχιστη, αντίστοιχα, είτε ελάχιστη και μέγιστη, αντίστοιχα.

MathSc έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 14, 2019 1:35 am
Όσον αφορά το τελευταίο ερώτημα η απάντηση είναι όλο το εφαπτόμενο επίπεδο; ...

Προφανώς.

MathSc · #5

Ναι, ναι, κατάλαβα! Σας ευχαριστώ πολύ!

Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Μέλη σε σύνδεση