εφαπτόμενοι κύκλοι

ann79 · #1

Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της μορφής $x^{2}+y^{2}-2+\lambda (x-y+2)=0, \lambda \neq 2$ εφάπτονται μεταξύ τους.

Christos.N · #2

Ξεκινάμε με την παραδοχή ότι για $\lambda \neq 2$ οι εξισώσεις παριστάνουν κύκλους.Έστω $\lambda_1 \neq \lambda_2$ τότε λύνοντας το σύστημα των αντίστοιχων κύκλων $C_{\lambda_1},C_{\lambda_2}$ βρίσκουμε μοναδική λύση το σημείο M(-1,1)

.Το τελευταίο σημαίνει ότι οι κύκλοι εφάπτονται.
Ερώτημα: Να εξεταστεί αν εφάπτονται εσωτερικά ή εξωτερικά.

Υ.Γ. ann79 μπράβο σου που κρατάς έναν φάκελο ζωντανό με διάφορα θέματα.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

ann79 έγραψε: Τρί Μάιος 21, 2019 9:27 am Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της μορφής $x^{2}+y^{2}-2+\lambda (x-y+2)=0, \lambda \neq 2$ εφάπτονται μεταξύ τους.

Για $\lambda \neq 2$ (σταθερό) έχουμε όντως εξίσωση κύκλου αφού αυτή γράφεται έπειτα από συμπλήρωση

τετραγώνων ως

$\left ( x+\dfrac{\lambda }{2} \right )^2+\left ( y-\dfrac{\lambda }{2} \right )^2=\dfrac{1}{2}\left ( \lambda -2 \right )^2.$

Παίρνοντας δύο τυχαία $\lambda _1,\lambda _2\neq 2$ και διαφορετικά μεταξύ τους βρίσκουμε ότι η απόσταση των

κέντρων τους είναι $\delta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left | \lambda _1-\lambda _2 \right |$ ενώ το άθροισμα των ακτινών

τους είναι $R_1+R_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left ( \left | \lambda _1-2 \right | +\left | \lambda _2-2 \right |\right )$ και

με ένα απλό γεωμετρικό επιχείρημα, για να μην μπλέξουμε με άλγεβρα, βλέπουμε ότι

$\left | \lambda _1-\lambda _2 \right |=\left | \lambda _1-2 \right | +\left | \lambda _2-2 \right |$

εφόσον $\lambda _1,\lambda _2$ εκατέρωθεν του

.

Σε αυτή την περίπτωση δύο οποιοιδήποτε διαφορετικοί κύκλοι με εξίσωση αυτή που μας δίνεται εφάπτονται εξωτερικά.

Αν πάλι $\lambda _1,\lambda _2$ προς το ίδιο μέρος του

#4

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω αναλυτικά τη λύση που περιγράφει ο Χρήστος παραπάνω και απαντώ στο ερώτημά του με διαφορετικό τρόπο από τον Λάμπρο.

Θα δείξουμε ότι οι κύκλοι της οικογένειας $\displaystyle {x^2} + {y^2} - 2 + \lambda \left( {x - y + 2} \right) = 0,\;\;\lambda \ne 2$ (1) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Έστω ότι υπάρχει σημείο M(x_1, y_1)

, που είναι κοινό δύο κύκλων της οικογενείας (1) με $\displaystyle {\lambda _1} \ne {\lambda _2}$ .

Τότε είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_1^2 + y_1^2 - 2 + {\lambda _1}\left( {{x_1} - {y_1} + 2} \right) = 0\\ x_1^2 + y_1^2 - 2 + {\lambda _2}\left( {{x_1} - {y_1} + 2} \right) = 0 \end{array} \right.$

Αφαιρώντας κατά μέλη, προκύπτει $\displaystyle \left( {{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)\left( {{x_1} - {y_1} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = {y_1} - 2$ .

Αντικαθιστώντας την τιμή του x_1

στην πρώτη είναι
$\displaystyle {\left( {{y_1} - 2} \right)^2} + y_1^2 = 2 \Leftrightarrow y_1^2 - 2{y_1} + 1 = 0 \Leftrightarrow {y_1} = 1$ , οπότε x_1=-1

.

Άρα το

είναι το μοναδικό κοινό σημείο όλων των κύκλων της (1).

Στο σημείο αυτό έχουν εφαπτομένη την ευθεία (e): x-y=-2

.

H

χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα, το E_1

με

, που περιέχει το O(0,0)

, καθώς και το E_2

με

.

Οι συντεταγμένες του κέντρου

κάθε κύκλου της (1) είναι $\displaystyle {x_0} = - \frac{\lambda }{2},\;{y_0} = \frac{\lambda }{2},\;\;\lambda \in R - \left\{ 2 \right\}$

Το

, άρα και ολόκληρος ο κύκλος, εκτός του σημείου

, βρίσκεται στο ημιεπίπεδο E_1

αν $\displaystyle {x_0} - {y_0} > 2 \Leftrightarrow - \frac{\lambda }{2} - \frac{\lambda }{2} > - 2 \Leftrightarrow \lambda < 2$ και στο E_2

αν $\displaystyle \lambda > 2$ , οπότε όλοι οι κύκλοι της (1) με $\displaystyle \lambda > 2$ ή όλοι οι κύκλοι της (1) με $\displaystyle \lambda > 2$ εφάπτονται εσωτερικά. Διαφορετικά, εφάπτονται εξωτερικά.

ΣΧΟΛΙΟ:
Για διδακτικούς λόγους, ανάλογα με τους μαθητές στους οποίους απευθυνόμαστε, θα μπορούσαμε αρχικά να δείξουμε ότι οι κύκλοι της οικογένειας $\displaystyle {x^2} + {y^2} - 2 + \lambda \left( {x - y + 2} \right) = 0,\;\;\lambda \ne 2$ (1) διέρχονται από ένα σημείο.

Για να το δείξουμε αυτό, αρκεί να βρούμε ένα σημείο K(x_0, y_0)

του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του $\displaystyle \lambda$ . Το ζητούμενο σημείο θα είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις x^2+y^2=2

και

, δηλαδή η λύση του συστήματος $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2\\ x - y = - 2 \end{array} \right.$ , που είναι x=-1, y=1

.

Άρα όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το σημείο M(-1,1)

.

Κατόπιν αποδεικνύουμε ότι οι κύκλοι της οικογένειας (1) δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο κ.ο.κ.

#5

Αν τους γράψουμε στην μορφή

$\left ( x+\dfrac{\lambda }{2} \right )^2+\left ( y-\dfrac{\lambda }{2} \right )^2=\dfrac{1}{2}\left ( \lambda -2 \right )^2.$

είναι φανερό ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων τους είναι η ευθεία y=-x

και το σημείο της (-1,1)

ανήκει και στους δύο κύκλους. Επομένως, κ.λπ., όλοι οι κύκλοι εφάπτονται στο σημείο (-1, 1)

, άλλοι μεν, εξ αυτών, εσωτερικά και άλλοι δε εξωτερικά.

εφαπτόμενοι κύκλοι

εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση