Τριγωνομετρική σειρά 2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε την τριγωνομετρική σειρά

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (10^{n}x)}{n}$ (1)

Εστω $A\subseteq (0,2\pi )$ στο οποίο η (1) συγκλίνει

και $B\subseteq (0,2\pi )$ στο οποίο η (1) αποκλίνει .

Να δείξετε ότι τα A,B

είναι πυκνά στο $(0,2\pi )$

Ανοικτή για όλους

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Ανοικτή για όλους

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Υπόδειξη.
Περιοριστείτε στους αριθμούς της μορφής

$2\pi \sum_{i=1}^{\infty }\frac{a_{i}}{10^{i}}$

με $a_{i}=0 or 1$

#4

Για κάθε $m \in \mathbb{N}$ και κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι $x \in A \iff x + \frac{\pi}{10^m} \in A$ . (Δεν περιορίζω τα A,B

στο $(0,2\pi)$ .)

Αυτό ισχύει διότι οι όροι των ακολουθιών $\left( \frac{\sin(10^n x)}{n}\right)$ και $\left( \frac{\sin(10^n (x+\tfrac{\pi}{10^m})}{n}\right)$ είναι ίσοι για n > m

.

Άρα για να δείξουμε την πυκνότητα αρκεί να δείξουμε ότι τα σύνολα είναι μη κενά. Προφανώς το

δεν είναι κενό αφού $0 \in A$ .

Έστω $\displaystyle x = 2\pi\left(1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \cdots \right)$ . Θα δείξουμε ότι $x \in B$ .

Έχουμε $\displaystyle 10^nx = 2\pi(1+10+10^2+\cdots + 10^n) + 2\pi\left(\frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \cdots \right) = 2m\pi + \frac{2\pi}{9}$ για κάποιο θετικό ακέραιο

.

Τότε όμως είναι $\displaystyle \sin(10^nx) = \sin(\tfrac{2\pi}{9})$ σταθερό, και άρα όντως $x \in B$ αφού η αρμονική σειρά αποκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Demetres έγραψε: Σάβ Οκτ 12, 2019 10:59 am Για κάθε $m \in \mathbb{N}$ και κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι $x \in A \iff x + \frac{\pi}{10^m} \in A$ . (Δεν περιορίζω τα στο $(0,2\pi)$ .)

Αυτό ισχύει διότι οι όροι των ακολουθιών $\left( \frac{\sin(10^n x)}{n}\right)$ και $\left( \frac{\sin(10^n (x+\tfrac{\pi}{10^m})}{n}\right)$ είναι ίσοι για .

Άρα για να δείξουμε την πυκνότητα αρκεί να δείξουμε ότι τα σύνολα είναι μη κενά. Προφανώς το δεν είναι κενό αφού $0 \in A$ .

Έστω $\displaystyle x = 2\pi\left(1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \cdots \right)$ . Θα δείξουμε ότι $x \in B$ .

Έχουμε $\displaystyle 10^nx = 2\pi(1+10+10^2+\cdots + 10^n) + 2\pi\left(\frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \cdots \right) = 2m\pi + \frac{2\pi}{9}$ για κάποιο θετικό ακέραιο .

Τότε όμως είναι $\displaystyle \sin(10^nx) = \sin(\tfrac{2\pi}{9})$ σταθερό, και άρα όντως $x \in B$ αφού η αρμονική σειρά αποκλίνει.

Ωραία.Η απόδειξη είναι πιο απλή από αυτή που είχα κατά νου.

Να σημειώσω ότι σχετικά εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι τα σύνολα
είναι υπεραριθμήσιμα.

Με πολύ-πολύ βαρεία εργαλεία εύκολα αποδεικνύεται ότι το

έχει μέτρο

Τριγωνομετρική σειρά 2

Τριγωνομετρική σειρά 2

Re: Τριγωνομετρική σειρά 2

Re: Τριγωνομετρική σειρά 2

Re: Τριγωνομετρική σειρά 2

Re: Τριγωνομετρική σειρά 2

Μέλη σε σύνδεση