Μέσο τμήματος

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

: 173.PNG (31.28 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

Έστω

σημείο του επιπέδου του τριγώνου ABC

ώστε εάν

οι προβολές του στις AB,BC,AC

το

να είναι το μέσο του τμήματος

.Έστω

το συμμετρικό του ορθόκεντρου

του

ως προς την

.
Εάν $CS\cap KL\equiv O,BS\cap KL\equiv R$ να δείξετε ότι το

είναι το μέσον του τμήματος

.

min## · #2

Αρχικά είναι απαραίτητο $D\epsilon (ABC)$ (θεώρημα Simson

).
Παρατηρώ πως η

είναι συμμετροδιάμεσος του ABC

,καθώς $DKA \simeq DLC$ και από Ν.Ημιτόνων $\dfrac{sinKAM\angle}{KM} =\dfrac{sinAMK\angle }{AK},\dfrac{sinMCL\angle}{ML} =\dfrac{sinCML\angle }{LC}\Rightarrow \dfrac{sinA\angle }{sinC\angle }=\dfrac{LD}{KD}$ από όπου προκύπτει ο γνωστός χαρακτηρισμός της συμμετροδιαμέσου.
Έχω ακόμα $S\epsilon (ABCD)$ από γνωστή πρόταση.
Από Reim's στα DMLC,DABC

παίρνω

οπότε αφού S(A,C,B,D)=-1

από το αρμονικό τετράπλευρο,το ζητούμενο έπεται με προβολή στην

..

Ορέστης Λιγνός · #3

Ένα διαφορετικό τελείωμα στη λύση του Μίνωα.

Έχουμε ότι η

είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle ABC$ , και το $D \in (A,B,C)$ , άρα το ABCD

είναι αρμονικό. Οπότε, $AB \cdot CD=AD \cdot BC \Rightarrow AB/BC \cdot DC/AD=1 \Rightarrow \dfrac{\sin \angle BCA}{\sin \angle BAC} \cdot \dfrac{\sin \angle DAC}{\sin \angle ACD}=1$ (1)

Όμως, είναι :

$\bullet$ $\angle LSO=\angle DAC$ , καθώς τα A,D,C,S

είναι ομοκυκλικά (το

, ανήκει και αυτό στον περίκυκλο του $\vartriangle ABC$ καθώς τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές, ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο)

$\bullet$ $\angle OSR=\angle BAC$

$\bullet$ $\angle SLR=\angle MLD=\angle MCD=\angle ACD$

$\bullet$ $\angle SRL=\angle BLK -\angle LBR=\angle BDK-\angle LDC=(90^\circ-\angle KBD)-(90^\circ-\angle BCD)=$ $\angle KAD-\angle KBD=\angle ADB=\angle ACB$ .

Άρα, η (1) γράφεται $\dfrac{\sin \angle SRL}{\sin \angle OSR} \cdot \dfrac{\sin \angle LSO}{\sin \angle SLR}=1 \Rightarrow \dfrac{LO}{OR}=1$ , οπότε LO=OR

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Μίνωα και Ορέστη σας ευχαριστώ για τις λύσεις

Γράφω την σκέψη μου:
Από Simson τα A,B,C,D

είναι ομοκυκλικά.
Το τρίγωνο KML

(εκφυλισμένο) είναι το ποδικό του

ως προς το ABC

άρα ισχύουν οι γνωστοί τύποι : $KM=\dfrac{AD \cdot BC }{2 R},ML=\dfrac{DC\cdot AB}{2R}\overset{KM=ML}{\Rightarrow }AD \cdot BC=DC\cdot AB$
Έτσι το ABCD

είναι αρμονικό και αφού το

ανήκει στον (A,B,C)

η δέσμη

θα είναι αρμονική και μένει να δειχθεί ότι AS//KL

που ισχύει αφού $\angle MAS=\angle CAS=\angle CDS=90^{\circ}-\angle C=90^{\circ}-\angle KAD=\angle ADK=\angle AMK$

Μέσο τμήματος

Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Μέλη σε σύνδεση