Ελάχιστο γινόμενο

#1

Καλημέρα σε όλους.

Δίνονται οι ευθείες e: x+y=1

και

. Η μεταβλητή ευθεία $t: y = mx, m \neq -1, m \neq 0$ τις τέμνει στα P, Q

αντίστοιχα. Αν

η αρχή του συστήματος αξόνων, βρείτε την ελάχιστη τιμή του γινομένου $OP \cdot OQ$ καθώς και την τιμή του

για την οποία προκύπτει το ελάχιστο.

Αν το έχουμε ξαναδεί, ας μην αποκαλυφθεί άμεσα (για μία δύο μέρες). Είναι διασκευή επί το ευκολότερο. Η πηγή αργότερα.

: 07-01-2020 Minimum.png (31.82 KiB) Προβλήθηκε 1834 φορές

#2

Επαναφορά. Πρόκειται για διασκευή προβλήματος των Θεόδωρου Καζαντζή, Ελένης Μήτσιου.

Συμπληρωματικά, να μελετηθεί και η περίπτωση η μεταβλητή ευθεία (t)

να είναι κατακόρυφη.

#3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τρί Ιαν 07, 2020 1:35 pm Καλημέρα σε όλους.

Δίνονται οι ευθείες και . Η μεταβλητή ευθεία $t: y = mx, m \neq -1, m \neq 0$ τις τέμνει στα αντίστοιχα. Αν η αρχή του συστήματος αξόνων, βρείτε την ελάχιστη τιμή του γινομένου $OP \cdot OQ$ καθώς και την τιμή του για την οποία προκύπτει το ελάχιστο.

Αν το έχουμε ξαναδεί, ας μην αποκαλυφθεί άμεσα (για μία δύο μέρες). Είναι διασκευή επί το ευκολότερο. Η πηγή αργότερα.

Γιώργο καλημέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ελάχιστη απόσταση 4.png (24.22 KiB) Προβλήθηκε 1679 φορές

Οι αναφορές που εμφανίζονται στο ανωτέρω σχήμα εύκολα εννοούνται.
Επομένως ζητούμε τα ακρότατα του γινομένου:

$(OP)(OQ)=\displaystyle2\frac{m^2+1}{\left|m(m+1)\right|},\ \ m\neq0, \ \ m\neq-1 }$

Για τούτο μελετάμε καλύτερα τη συνάρτηση:

$\displaystyle{f(m)=2\frac{m^2+1}{m(m+1)} \ \ (1) }$

Η πρώτη παράγωγος αυτής είναι:

$\displaystyle{f'(m)=2\frac{m^2-2m-1}{(m(m+1))^2}, \ \ m\neq0,\ \ m\neq-1 \ \ (2)}$

Αυτή έχει ως ρίζες τις

$\displaystyle{m_1=1-\sqrt2, \ \ m_2=1+\sqrt2}$

και ο πίνακας μεταβολής των τιμών της $\displaystyle{f}$ είναι:

: Ελάχιστη απόσταση 2.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 1728 φορές

Από τον πίνακα αυτό όπου δεν σημείωσα τις οριακές τιμές στα σημεία $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{-1}$ προκύπτουν
δύο τοπικά ακρότατα.
Όμως ας προσέξουμε το ακόλουθο γράφημα της $\displaystyle{f}$ :

: Ελάχιστη απόσταση 3.png (6.43 KiB) Προβλήθηκε 1728 φορές

Το τοπικό ακρότατο για $\displaystyle{x=m_1}$ δεν μας ενδιαφέρει γιατί ζητούμε γινόμενο ευθυγράμμων τμημάτων
το οποία είναι θετικές ποσότητες και στην περιοχή $\displaystyle{(-1,0)}$ οι τιμές της $\displaystyle{f}$ είναι αρνητικές. (Θα ήταν δεκτό
το ακρότατο αυτό αν ζητούσαμε ακρότατα του γινομένου των αλγεβρικών τιμών των τμημάτων $\displaystyle{OP, OQ}$ )

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{\lim_{m\to\infty}f(m)=2>4(\sqrt{2}-1)}$

Έτσι το ζητούμενο ακρότατο είναι:

$\displaystyle{f_{min}(1+\sqrt{2})=4(\sqrt{2}+1)}$

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#4

Ευχαριστώ τον Κώστα για την λεπτομερή απάντηση. Περιμένοντας τη συνέχεια που υπόσχεται στο τέλος της ανάρτησής του, δίνω μια ελαφρά διαφορετική προσέγγιση στο τελευταίο τμήμα της άσκησης.

Για m > 0

η συνάρτηση $\displaystyle f\left( m \right) = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2} + m}}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( m \right) = \frac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{{\left( {{m^2} + m} \right)}^2}}}$ .

Με πίνακα προσήμων παραγώγου, βρίσκουμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για $\displaystyle m = \sqrt 2 + 1$ .

Αν m<0

και $m \neq -1$ , τότε $\displaystyle \left| {{m^2} + m} \right| < \left| {{m^2} - m} \right| \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 1}}{{\left| {{m^2} + m} \right|}} > \frac{{{m^2} + 1}}{{\left| {{m^2} - m} \right|}} \Leftrightarrow f\left( m \right) > f\left( { - m} \right)$ ,

δηλαδή για κάθε αρνητικό $m, m \neq -1$ υπάρχει το αντίθετο θετικό

που δίνει μικρότερη τιμή στη συνάρτηση, οπότε η τιμή που βρήκαμε είναι ολικό ελάχιστο της συνάρτησης, άρα και του γινομένου $OP \cdot OQ$ .

Είναι $\displaystyle OP \cdot O{Q_{\min }} = 2 \cdot \frac{{1 + {{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left| {1 + \sqrt 2 + {{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \right|}} = \frac{{8 + 4\sqrt 2 }}{{4 + 3\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 - 4.$

Η αρχική μορφή της άσκησης έχει μεταβλητές παραμέτρους στις ευθείες και αντιμετωπίζεται με εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων και παραγώγους, από τον Θεόδωρο Καζαντζή και την Ελένη Μήτσιου σε ειδικό τόμο με Προβλήματα της Μαθηματικής Βιβλιοθήκης το 1994.

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Σάβ Ιαν 11, 2020 10:05 am Επαναφορά. Πρόκειται για διασκευή προβλήματος των Θεόδωρου Καζαντζή, Ελένης Μήτσιου.

Συμπληρωματικά, να μελετηθεί και η περίπτωση η μεταβλητή ευθεία να είναι κατακόρυφη.

Γιώργο σχετικά με την περίπτωση που ζητάς για μελέτη μπορούμε να πούμε τα εξής σκεφτόμενοι
στο ακόλουθο σχήμα:

: Ελάχιστο γινόμενο 2.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 1567 φορές

Για να γίνει η ευθεία:

$\displaystyle{t:y=mx, \ \ m \neq 0,\ \ m \neq -1}$

κατακόρυφη, θα πρέπει ο συντελεστής κατεύθυνσης $\displaystyle{m}$ της ευθείας αυτής να γίνει άπειρο.

Αν λοιπόν θέλουμε να μελετήσουμε την οριακή αυτή περίπτωση τότε θα πρέπει να βρούμε και το ακόλουθο όριο:

$\displaystyle{\lim_{m\to +\infty}f(m)}$

το οποίο εύκολα βρίσκεται ότι είναι το $\displaystyle{2}$ .

Έτσι στην οριακή αυτή περίπτωση το ζητούμενο γινόμενο είναι ο αριθμός $\displaystyle{2}$ πράγμα που βρίσκεται και

με απλή παρατήρηση του σχήματος.

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τρί Ιαν 07, 2020 1:35 pm Καλημέρα σε όλους.

Δίνονται οι ευθείες και . Η μεταβλητή ευθεία $t: y = mx, m \neq -1, m \neq 0$ τις τέμνει στα αντίστοιχα. Αν η αρχή του συστήματος αξόνων, βρείτε την ελάχιστη τιμή του γινομένου $OP \cdot OQ$ καθώς και την τιμή του για την οποία προκύπτει το ελάχιστο.

Αν το έχουμε ξαναδεί, ας μην αποκαλυφθεί άμεσα (για μία δύο μέρες). Είναι διασκευή επί το ευκολότερο. Η πηγή αργότερα.

Γιώργο καλημέρα....
Μετά την ανωτέρω μελέτη η οποία κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η ευθεία:

$\displaystyle{t_o: y=(1+\sqrt{2})x, \ \ (1)}$

είναι εκείνη από το πλήθος των ευθειών:

$\displaystyle{t:y=mx, \ \ m\neq-1, \ \ m \neq 0 \ \ (2)}$

η οποία τέμνει τις δοθείσες στα σημεία $\displaystyle{P_o, Q_o}$ έτσι ώστε το γινόμενο:

$\displaystyle{ J=(OP_o)(OQ_o)}$

να γίνει ελάχιστο.

Ας το δούμε αυτό στο επόμενο σχήμα:

: Ελάχιστη απόσταση 5.png (20.29 KiB) Προβλήθηκε 1490 φορές

Επειδή είναι:

$\displaystyle{arctan(1+\sqrt{2})=67.5^o}$

άρα η ευθεία $\displaystyle{(t_o)}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{P_1OB}}$ .

Αυτό αποτελεί και μια γενικότητα που μπορεί να δειχθεί και σ' όλες τις περιπτώσεις.

Έτσι μπορούμε να διατυπώσουμε εξής πρόβλημα:

"Δίνεται οξεία γωνία $\displaystyle{\widehat{xOy}}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ εκτός αυτής. Ζητούμε εκείνη την ευθεία η οποία
διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{M}$ και τέμνει τις πλευρές της γωνίας $\displaystyle{Ox, Oy}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{P_o,Q_o}$
ώστε το γινόμενο $\displaystyle{J=(MP_o)(MQ_o)=min}$ "

Στο κατωτέρω σχήμα βλέπουμε:

: Ελάχιστη απόσταση 6.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 1490 φορές

Για να βρούμε την τέμνουσα που να δίνει το ελάχιστο γινόμενο των τμημάτων που αναφέραμε πρέπει να φέρουμε
τις κάθετες $\displaystyle{Mx_1, My_1}$ αντίστοιχα στις $\displaystyle{Ox, Oy}$ και να φέρουμε τη διχοτόμο των ευθειών αυτών,
δηλαδή την $\displaystyle{Mt}$ .

H απόδειξη της πρότασης αυτής γίνεται όπως και το αρχικό μας ερώτημα.

Ας αναζητηθεί και γεωμετρική λύση...

Κώστας Δόρτσιος

#7

με τους συμβολισμούς του Κώστα
Αφου $\displaystyle{M=ct\Rightarrow MQ_2=ct=d_2,MP_1=ct=d_1}$ και εστω $\angle P_0MQ_2=x$ και $\angle P_1MQ_0=y$

τότε $\displaystyle{MP_0.MQ_0=\frac{d_1d_2}{cosy.cosx}}}$ αρκεί $\displaystyle{cosy.cosx=MAX}$ ή $\displaystyle{1/2(cos(x-y)-cos(x+y)=max}$

όμως η γωνία $\displaystyle{"x+y"=ct}$ επειδή εχει πλευρές κάθετες με τις $\displaystyle{Ox,Oy}$ πρέπεi λοιπόν $\displaystyle{cos( x-y)=max}$ αρα $\displaystyle{x=y}$

#8

Γεωμετρικές παρατηρήσεις
1.Το $\displaystyle{Q_1}$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{OMP_2}$
2. Οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\angle XOY,\angle P_1MP_2}$ τέμνονται στο $\displaystyle{I}$ τότε $\displaystyle{I}$ ανήκει στον κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{OM}$
3.Η διχοτόμος της $\displaystyle{\angle XOY}$ τέμνει τις $\displaystyle{MP_1,MP_2}$ αντιστοίχως στα $\displaystyle{R,S}$ τότε $\displaystyle{Q_0R=Q_0S,P_0S=P_0R}$
EΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ

Ελάχιστο γινόμενο

Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση