Άθροισμα Riemann

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4175
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Άθροισμα Riemann

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 12, 2020 12:28 pm



Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11904
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 13, 2020 11:55 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:28 pm
Έστω \sigma το άθροισμα των διαιρετών του n. Ας δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \sigma(k) = \frac{\pi^2}{12}}
\displaystyle{ \frac {1}{n^2}\sum_{k\le n}\sigma(k) = \frac {1}{n^2}\sum_{k\le n}\sum_{q|k}q = \frac {1}{n^2}\sum_{q,d:\, qd\le n}q = \frac {1}{n^2} \sum_{d\le n}  \sum_{q\le n/d}q =  }

\displaystyle{ =   \frac {1}{2n^2}\sum_{d\le n} \left ( \frac {n^2}{d^2}+ \big O\left (  \frac {n}{d}\right) \right )= \frac {1}{2}\sum_{d\le n}  \frac {1}{d^2}+ \big O\left (  \frac {1}{n}\sum_{d\le n}  \frac {1}{d}\right) = }

\displaystyle{=\frac {1}{2}\left ( \zeta (2) -\frac {1}{n}   + \big O\left (  \frac {1}{n^2}\right )\right ) + \big O\left (  \frac {1}{n}\log n\right)\to \frac {1}{2} \zeta (2) }, όπως θέλαμε.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11904
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 14, 2020 4:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 11:55 pm

\displaystyle{ ... = \frac {1}{2}\sum_{d\le n}  \frac {1}{d^2}+ \big O\left (  \frac {1}{n}\sum_{d\le n}  \frac {1}{d}\right) = }

\displaystyle{=\frac {1}{2}\left ( \zeta (2) -\frac {1}{n}   + \big O\left (  \frac {1}{n^2}\right )\right ) + \big O\left (  \frac {1}{n}\log n\right)\to \frac {1}{2} \zeta (2) }, όπως θέλαμε.
Μπορούμε βέβαια να γλυτώσουμε τις εκτιμήσεις που υπάρχουν στην μεγάλη παρένθεση στην τελευταία γραμμή. Περιττεύουν. Πιο άμεσα,

\displaystyle{ \frac {1}{2}\sum_{d\le n}  \frac {1}{d^2}+ \big O\left (  \frac {1}{n}\sum_{d\le n}  \frac {1}{d}\right) = }}

\displaystyle{=\ \frac {1}{2}\sum_{d\le n}  \frac {1}{d^2}  + \big O\left (  \frac {1}{n}\log n\right)\to \frac {1}{2} \zeta (2) +0}

Τόλη, γιατί ονόμασες "Άθροισμα Riemann" το ποστ; Ναι μεν θυμίζει άθροισμα Riemann, αλλά είναι; Κρύβεται κάποιο ολοκλήρωμα από πίσω;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4175
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιαν 14, 2020 6:25 pm

Ναι , υπάρχει ένα ολοκληρώμα απο πίσω. Βλέπε εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης