Κλιμακωτές συναρτήσεις

Venegrom · #1

Καλησπέρα αυτόν τον καιρό διαβάζω το βιβλίο του Spivak όπου πιστεύω ειναι μια καλή εισαγωγή στην ανάλυση.Η άσκηση που δυσκολευομαι να λύσω είναι η εξής
Αν

ολοκληρώσιμη στο [a,b]

να δείξω ότι υπάρχει κλιμακωτή συνάρτηση $s_1 \leq f$ τέτοια ώστε $\int_{a}^{b}f$ - $\int_{a}^{b} s_1$ < ε και κλιμακωτή συνάρτηση $s_2\leq f$ με $\int_{a}^{b} s_2 - \int_{a}^{b} f < \varepsilon$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Venegrom έγραψε: Τετ Ιαν 15, 2020 2:29 pm $s2\geq f$ με $\int_{a}^{b} s2$ - $\int_{a}^{b} f$ < ε

Σου άλλαξα τη φορά στην πρώτη γιατί αλλιώς είναι τετριμμένη η δεύτερη αφού το αριστερό της μέλος είναι <0.

To γεγονός ότι η

είναι ολοκληρώσιμη συνεπάγεται ότι υπάρχει διαμέριση $\Delta$ που μας δίνει άνω

άθροισμα μείον κάτω άθροισμα $<\varepsilon.$ Όρισε τις s_1,s_2

τώρα, βασιζόμενος σε αυτή τη διαμέριση,

με βάση τα $\sup f,\inf f$ που παίρνεις σε κάθε υποδιάστημα της διαμέρισης.

Γράψε μας τη λύση σου εδώ μετά.

#3

Αν η

είναι ολοκληρώσιμη τότε υπάρχει μια διαμέριση

ώστε $U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon$ και ότι $L(f,P) \leqslant \int_a^b f \leqslant U(f,P)$ . Άρα είναι $\int_a^b f - L(f,P) < \varepsilon$ .

Μπορείς τώρα να βρεις κλιμακωτή s_1

ώστε $s_1 \leqslant f$ και $L(f,P) = \int_a^b s_1$ ;

Venegrom · #4

L(f,P)= $\sum_{i=1}^{n}m(i) * (ti -t(i-1)))$ = $\int_{a}^{b} s1$ = $\int_{t0}^{t1} s1$ + ... + $\int_{t(n-1))}^{tn} s1$
Θέτω την s1 να παίρνει σε καθε (t(i-1),ti)) διάστημα τα inf της f.Oμοιως και για την s2 απλα παιρνουμε τα supf σε καθε διαστημα της διαμερισης P.Και μια ερώτηση... μας νοιάζει αν η κλιμακωτή συνάρτηση είναι συνεχής ?(υποθετω πως μαλλον οχι αλλα ειχα την απορια )

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Venegrom έγραψε: Τετ Ιαν 15, 2020 8:37 pm L(f,P)= $\sum_{i=1}^{n}m(i) * (ti -t(i-1)))$ = $\int_{a}^{b} s1$ = $\int_{t0}^{t1} s1$ + ... + $\int_{t(n-1))}^{tn} s1$
Θέτω την s1 να παίρνει σε καθε (t(i-1),ti)) διάστημα τα inf της f.Oμοιως και για την s2 απλα παιρνουμε τα supf σε καθε διαστημα της διαμερισης P.Και μια ερώτηση... μας νοιάζει αν η κλιμακωτή συνάρτηση είναι συνεχής ?(υποθετω πως μαλλον οχι αλλα ειχα την απορια )

Η κλιμακωτή δεν σε νοιάζει αν είναι συνεχής. Εν γένει δεν είναι. Είναι όμως σίγουρα ολοκληρώσιμη. Στα άκρα των υποδιαστημάτων μπορείς να την ορίσεις όπως θέλεις.

**τόνισε τις λέξεις

#6

Venegrom έγραψε: Τετ Ιαν 15, 2020 8:37 pm ... μας νοιάζει αν η κλιμακωτή συνάρτηση είναι συνεχής ?

Άσκηση για σένα: Δείξε ότι μια συνεχής κλιμακωτή συνάρτηση είναι σταθερή.

Μάλλον κάτι άλλο έχεις κατά νου.

Venegrom · #7

Απλα θεωρω οτι δεν ειναι σταθερη και καταληγω σε ατοπο αφου συμφωνα με την υποθεση ειναι συνεχης ?

#8

Venegrom έγραψε: Πέμ Ιαν 16, 2020 12:14 am Απλα θεωρω οτι δεν ειναι σταθερη και καταληγω σε ατοπο αφου συμφωνα με την υποθεση ειναι συνεχης ?

Αντί να είσαι περιγραφικός θα ήταν χρησιμότερο να γράψεις με ακρίβεια τα βήματα. Θα σου πούμε τότε την γνώμη μας.

(Κάτι ακόμα: Παρακαλώ γράφε σωστά Ελληνικά. Στην γλώσσα μας οι λέξεις τονίζονται και το σύμβολο του ερωτηματικού είναι ";")

stranger · #9

Για να δείξεις το ζητούμενο αρκεί να έχεις κατανοήσει τα αθροίσματα Riemann μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης.
Το ζητούμενο είναι φανερό από τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann.
Για να μη μπορείς να το δείξεις αυτό σημαίνει ότι δεν έχεις κατανοήσει ικανοποιητικά το ολοκλήρωμα Riemann.

Κλιμακωτές συναρτήσεις

Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση