Μέτρο Πιθανότητας

OdiKav · #1

Καλησπέρα σας...
Υπάρχει μέτρο πιθανότητας $\mu$ σε μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του $\mathbb N = \{ 1,2,3,... \}$ που να "μετρά" την πυκνότητα των κλάσεων ισοδυναμίας mod{N}

για κάθε $N\in \mathbb N$ , δηλαδή να ισχύει

$\mu (\{ n\in\mathbb N :n\equiv j\bmod{N}\})=\frac{1}{N}$ , για κάθε $j,N\in \mathbb N$ ;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

OdiKav έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 23, 2020 10:10 pm
Καλησπέρα σας...
Υπάρχει μέτρο πιθανότητας $\mu$ σε μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του $\mathbb N = \{ 1,2,3,... \}$ που να "μετρά" την πυκνότητα των κλάσεων ισοδυναμίας για κάθε $N\in \mathbb N$ , δηλαδή να ισχύει

$\mu (\{ n\in\mathbb N :n\equiv j\bmod{N}\})=\frac{1}{N}$ , για κάθε $j,N\in \mathbb N$ ;

Δεν έχω τελική απάντηση. Δεν νομίζω να έχει και εύκολη απάντηση. Η διαίσθηση λέει ναι έτσι όπως το έχεις ορίσει. Το δύσκολο σημείο είναι να αποδείξεις την τρίτη απαίτηση του ορισμού και εκεί θα χρειαστείς κάποιο θεώρημα επέκτασης, ίσως Καραθεωδορή.

OdiKav · #3

Γεια σας και ευχαριστώ που κοιτάξατε το ζήτημα..Εγώ από την άλλη μεριά τείνω προς το ότι δεν υπάρχει τέτοιο μέτρο. Σαν πρώτη σκέψη έχουμε τον καθορισμό των σ-αλγεβρών πάνω στις οποίες θα μπορούσε να δουλέψει το μέτρο.. Αν δεν κάνω λάθος η σ-άλγεβρα που παράγει το $(a+b\mathbb N) \cap \mathbb N$ , είναι όλο το δυναμοσύνολο του $\mathbb N$ (δεν το έχω αποδείξει, αλλά νομίζω πως έτσι πρέπει να είναι). Έχοντας αυτό το αποτέλεσμα προσπαθώ να δείξω ότι τα μονοσύνολα έχουν μέτρο μηδέν και έτσι τελειώσαμε...Φυσικά αυτά είναι απλά σκέψεις..

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

OdiKav έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 23, 2020 10:10 pm
Καλησπέρα σας...
Υπάρχει μέτρο πιθανότητας $\mu$ σε μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του $\mathbb N = \{ 1,2,3,... \}$ που να "μετρά" την πυκνότητα των κλάσεων ισοδυναμίας για κάθε $N\in \mathbb N$ , δηλαδή να ισχύει

$\mu (\{ n\in\mathbb N :n\equiv j\bmod{N}\})=\frac{1}{N}$ , για κάθε $j,N\in \mathbb N$ ;

Όχι δεν υπάρχει.
Αρκεί να δειχθεί ότι αν υπήρχε τότε τα μονοσύνολα θα ανήκαν στην σ-άλγεβρα και αναγκαστικά
θα έχουν μέτρο

.
Εστω ένα $m\in \mathbb{N}$
Θεωρούμε τα σύνολα
$A_{k}=\left \{ m+np_{k}:n\in \mathbb{N} \right \}$
οπου
$p_{k}> m$
είναι πρώτοι διαφορετικοί ανα δύο.
Είναι φανερό ότι τα $A_{k}$ ανήκουν στην σ-αλγεβρα και
$\cap_{k\in \mathbb{N}} A_{k}=\left \{ m \right \}$
οπότε θα ανήκει στην σ-άλγεβρα.

Αν δεν κάνω λάθος νομίζω ότι παίρνοντας την άλγεβρα όλων των υποσυνόλων του $\mathbb{N}$
μπορούμε να ορίσουμε πεπερασμένα προσθετικό μέτρο με την ιδιότητα που θέλουμε και όλο το
$\mathbb{N}$ να έχει μέτρο

.
(χρειάζεται το Banach limit)που για να ορισθεί χρειάζεται το αξίωμα επιλογής.

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_limit

Μέτρο Πιθανότητας

Μέτρο Πιθανότητας

Re: Μέτρο Πιθανότητας

Re: Μέτρο Πιθανότητας

Re: Μέτρο Πιθανότητας

Μέλη σε σύνδεση