ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Νο 1)

Βασίλης Καλαμάτας · #1

Οι εξετάσεις πλησιάζουν και τα επαναληπτικά θέματα πλέον είναι το αγαπημένο θέμα όλων αυτών που προετοιμάζονται ή προετοιμάζουν υποψηφίους για αυτές. Σκέφθηκα να βάλω ένα μικρό λιθαράκι στην προσπάθεια αυτή. Ένα από τα αγαπημένα μου είναι το παρακάτω:

Θεωρούμε το μιγαδικό $z=\alpha +\beta i$ , όπου $\alpha ,\beta \epsilon R$ και τη συνεχή και γνήσια αύξουσα συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , που είναι τέτοια, ώστε να ισχύει
$\left|z-i \right|f(x)+\left|z+i \right|f(1-x)=\left|z-i \right|+\left|z+i \right|$ για κάθε $x\epsilon R$ .
Να αποδείξετε ότι:

α) $z\neq i$ και $z\neq -i$ .
β) $\left|z-i \right|=\left|z+i \right|$ .
γ) ο αριθμός

είναι πραγματικός.
δ) η εξίσωση f(x)=1

έχει μοναδική πραγματική ρίζα.
ε) $\int_{0}^{1}{f(x)dx}=1$ .
στ) η εξίσωση $\int_{0}^{2x}{f(t)dt}=1-xf(x)$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\left(0,\frac{1}{2} \right)$ .

Ελπίζω να σας αρέσει, περιμένω τις παρατηρήσεις και τα σχόλια όσων βρουν το χρόνο να ασχοληθούν... Καλή δύναμη σε όλους και καλό βράδυ...

Υ.Γ.Επειδή δεν έχω όλα τα βιβλία μου στο σπίτι και δε θυμάμαι από ποιο βοήθημα έχω αντλήσει το συγκεκριμένο θέμα, από Δευτέρα θα αναφέρω και την πηγή... Αν κάποιος συνάδελφος γνωρίζει τον παρακαλώ να το σημειώσει.

coheNakatos · #2

Ωραια και ευκολη σχετικα

ΘΑΝΑΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ · #3

α) Με άτοπο.
β) Θέτουμε στην ( 1 ) όπου χ το 1 - χ και παίρνουμε τα πρώτα μέλη από τις δύο σχέσεις.
γ) Από το υψώνοντας στο τετράγωνο.
δ) f( 1/2 ) = 1.
ε) Η ( 1 ) γίνεται f( χ ) + f( 1 - χ ) = 2 και βάζουμε στο ολοκλήρωμα u = 1 - χ.
στ) Bolzano για τη συνάρτηση της διαφοράς τους

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Νο 1)

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Νο 1)

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Νο 1)

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Νο 1)

Μέλη σε σύνδεση