π και e

stranger · #1

Να συγκρίνετε τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$ .

Tolaso J Kos · #2

stranger έγραψε: Παρ Μαρ 27, 2020 3:39 am Να συγκρίνετε τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$ .

Για όσους ξενυχτάνε ( καλή ώρα σα και μένα , αφού δεν έχω να κάνω τίποτα καλύτερο μιας και όλη μέρα ξεκουράζομαι ) λοιπόν. Έχουμε και λέμε:

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ η οποία είναι διαφορίσιμη στο $(1, +\infty)$ με παράγωγο $f'(x)=\frac{\ln x -1 }{\ln^2 x}$ . Για x=e

η συνάρτηση

παρουσιάζει ακρότατο ( ολικό ελάχιστο ) . Στο $[e , +\infty)$ η

είναι γνήσια αύξουσα οπότε $f(e)< f(\pi)$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{\begin{aligned} f(e)< f(\pi) &\Leftrightarrow \frac{e}{\ln e} < \frac{\pi}{\ln \pi} \\ &\Leftrightarrow e \ln \pi < \pi \ln e \\ &\Leftrightarrow \ln \pi^e < \ln e^\pi \\ &\Leftrightarrow \pi^e < e^\pi \end{aligned}}$
Υ.Σ: Μπορούμε να δουλέψουμε και με τη $x^{1/x}$ .

stranger · #3

#4

stranger έγραψε: Παρ Μαρ 27, 2020 3:39 am Να συγκρίνετε τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$ .

H άσκηση είχε πέσει στον ΑΣΕΠ πριν μερικά χρόνια. Υπάρχουν πολλές λύσεις από τις οποίες ίσως η ευκολότερη είναι η παρακάτω, μέσω της ανισότητας e^x> 1+x

για

. Συγκεκριμένα, παίρνοντας $x= \dfrac {\pi}{e} -1$ έχουμε

$\displaystyle{e^{ \pi /e -1} > \dfrac {\pi}{e} }$ . Υψώνοντας στην

έχουμε $\displaystyle{ e^{ \pi- e} > \left( \dfrac {\pi}{e} \right ) ^e}$ που πολλαπλασιάζοντας επί e^e

δίνει $\displaystyle{e^{\pi} > \pi ^ e.}$

#5

$\displaystyle{\frac{lne}{e}-\frac{ln\pi }{\pi}=(e-\pi )\frac{1-lnu}{u^2}>0,e<u<\pi}$ άρα $\displaystyle{\pi lne>e ln \pi }$ η $\displaystyle{e^{\pi }>\pi ^e }$ c

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μαρ 27, 2020 7:48 am
stranger έγραψε: Παρ Μαρ 27, 2020 3:39 am Να συγκρίνετε τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$ .
H άσκηση είχε πέσει στον ΑΣΕΠ πριν μερικά χρόνια.

Η άσκηση ήταν θέμα του ΑΣΕΠ Μαθηματικών του 2000. Ο Μιχάλης ξύπνησε κάποιες αναμνήσεις...
Η συγκεκριμένη άσκηση ήταν μία από τις οκτώ ασκήσεις που τέθηκαν.
Για αυτές τις οκτώ ασκήσεις δεν ακούστηκε λέξη τότε...
Ούτε ασάφειες είχαν , ούτε παραλείψεις...

#7

Ακριβώς ΑΣΕΠ 2000 την είχα αντιμετωπίσει. Την είχα βρεί στο δρόμο μου και παλιότερα, σε εξετάσεις για εισαγωγή στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα του Μαθηματικού Ηρακλείου το 1985.

π και e

π και e

Re: π και e

Re: π και e

Re: π και e

Re: π και e

Re: π και e

Re: π και e

Μέλη σε σύνδεση