Άσκηση μιγαδική ανάλυση

i_am_imbact · #1

Καλησπέρα σας.
Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση.
Η άσκηση είναι η εξής
Έστω z_k , k=0,1,2....,n-1

οι νιοστές ρίζες της μονάδας $z^{n-1}=1$
Να αποδείξετε ότι :

1) Τα ορίσματα των z_k , k=0,1,2....,n-1

αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
2) Οι z_k , k=0,1,2....,n-1

αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.
3) $z_0 + z_1 + ….. + z_{n-1} = 0$

4) $z_{0}z_{1}.....z_{n-1}= {-1}^{n-1}$
5) $(1- z_{1})(1-z_{2})...…(1-z_{n-1})=n$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

i_am_imbact έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2020 3:37 am
Καλησπέρα σας.
Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση.
Η άσκηση είναι η εξής
Έστω οι νιοστές ρίζες της μονάδας $z^{n-1}=1$
Να αποδείξεται ότι :

1) Τα ορίσματα των αποτελόυν διαδοχικόυς όρους αριθμιτικής προόδου.
2) Οι αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.
3) $z_0 + z_1 + ….. + z_{n-1} = 0$

4) $z_{0}z_{1}.....z_{n-1}= {-1}^{n-1}$
5) $(1- z_{1})(1-z_{2})...…(1-z_{n-1})=n$

Καλημέρα. Το κείμενό σου έχει αρκετά λάθη ως προς τη σύνταξη , την ορθογραφία αλλά και τα μαθηματικά σύμβολα. Καλό είναι να τα διορθώσεις. Σου δίνω μια υπόδειξη μόνο γιατί είναι εύκολη.

$z^n-1=(z-1)(z-z_1)...(z-z_{n-1})$ αλλά επίσης z^n-1=....

#3

i_am_imbact έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2020 3:37 am
Καλησπέρα σας.
Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση.
Η άσκηση είναι η εξής
Έστω οι νιοστές ρίζες της μονάδας $z^{n-1}=1$
Να αποδείξετε ότι :

1) Τα ορίσματα των αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
2) Οι αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.
3) $z_0 + z_1 + ….. + z_{n-1} = 0$

4) $z_{0}z_{1}.....z_{n-1}= {-1}^{n-1}$
5) $(1- z_{1})(1-z_{2})...…(1-z_{n-1})=n$

Ίσως δεν μπορείς να λύσεις την άσκηση επειδή στην εκφώνηση γράφεις $z^{n-1}=1$ αντί του σωστού $z^{n}=1$ .

Για ξαναδές το τώρα, με αυτή την οπτική. Τα ερωτήματα 1) έως 4) είναι ιδιαίτερα απλά. Για τα 3) και 4) μάλιστα μπορούν να γίνουν με δύο τρόπους. Ο ένας είναι ο προφανής αφού γράψεις τις τιμές των z_k

και ο άλλος είναι με τύπους Vieta.

Περιμένουμε εδώ να δούμε την λύση σου.

i_am_imbact · #4

Καλησπέρα σας,
$z^n -1 =(z-1)(1+z+z^2 +\cdots+ z^{n-1})\Rightarrow\displaystyle \frac{z^n-1}{z-1} = (1+z +z^2 +\cdots+ z^{n-1})$
και από την εξίσωση $z^n-1 = (z-1)(z-z_1)\cdots(z-z_{n-1})$ καταλήγουμε ότι $\displaystyle \frac{z^n-1}{z-1} = (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})$

τελικά $(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1}) = (1+z+z^2 +\cdots+ z^{n-1})$ και για z=1

καταλήγουμε εκεί που θέλουμε

Επιπλέον άλλο ένα ερώτημα είναι το εξής :
ζητάει να αποδείξουμε ότι $(z_{k}z_{l})=1,\forall k,l \in [0,1,2\cdots, n-1]$ το οποίο δεν ισχύει για κάθε k,l

έτσι νομίζω γιατί πήρα δυο διαφορετικές ρίζες έκανα τις πράξεις και βρήκα άλλο αποτέλεσμα
Ευχαριστώ πολύ

Λάμπρος Κατσάπας · #5

i_am_imbact έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2020 3:36 pm

Επιπλέον άλλο ένα ερώτημα είναι το εξής :
ζητάει να αποδείξουμε ότι $(z_{k}z_{l})=1,\forall k,l \in [0,1,2\cdots, n-1]$ το οποίο δεν ισχύει για κάθε έτσι νομίζω γιατί πήρα δυο διαφορετικές ρίζες έκανα τις πράξεις και βρήκα άλλο αποτέλεσμα
Ευχαριστώ πολύ

Βρες τη σχέση των δεικτών k,l

ώστε να γίνει σωστή.

Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση