Πολυώνυμα και ολίγη θεωρία αριθμών

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο P(x)

με ακέραιους συντελεστές τέτοιο, ώστε για κάθε φυσικό αριθμό

ο αριθμός

να είναι πρώτος.
Υ.Γ: Μη σταθερό πολυώνυμο!

#2

Κλασική άσκηση.

Έστω ότι P(0) = p

, πρώτος. Δηλαδή ο σταθερός συντελεστής του

είναι το

. Τότε το

είναι πολλαπλάσιο του

για κάθε φυσικό

. Αφού το

είναι πρώτος, τότε P(np) = p

για κάθε φυσικό

. Αλλά τότε το Q(x) = P(x) - p

έχει άπειρες ρίζες. Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν το Q(x)

είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή εκτός και αν το P(x)

είναι σταθερό.

Υ.Γ. Αν δεν θεωρούμε τον

φυσικό αριθμό τότε εργαζόμαστε με το πολυώνυμο R(x) = P(x+1)

. Έχουμε

πρώτος κ.τ.λ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 11:11 pm
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο, ώστε για κάθε φυσικό αριθμό
ο αριθμός να είναι πρώτος.
Υ.Γ: Μη σταθερό πολυώνυμο!

Νομίζω ότι είναι πασίγνωστη.
Εχουμε P(1)=p

με

πρώτο.
Επειδή το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές είναι P(n)-P(m)=(n-m)r

όπου

ακέραιος.
Για κάθε

φυσικό έχουμε

$P(1+kp)-P(1)=kpl_{k} \Rightarrow P(1+kp)=p(kl_{k}+1)$
όπου $l_{k}$ ακέραιος.

Αφού ο P(1+kp)

είναι πρώτος θα πρέπει $kl_{k}+1=1$ για όλα τα

Ετσι το

παίρνει την τιμή

για άπειρα

που είναι ΑΤΟΠΟ.

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 11:11 pm
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο, ώστε για κάθε φυσικό αριθμό
ο αριθμός να είναι πρώτος.
Υ.Γ: Μη σταθερό πολυώνυμο!

Έστω $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ . Χωρίς βλάβη a_0>0

και άρα υπάρχει μεγάλος φυσικός

με

(διότι από ένα σημείο και πέρα η

είναι γνήσια αύξουσα προς το άπειρο). Υπόψη ότι ο P(m)

είναι φυσικός.

Εξετάζουμε τώρα το P(x)

για

(που είναι βέβαια φυσικός

)

Είναι $\displaystyle{P(m) < P(m+P(m)) = a_n(m+P(m))^n + ...+a_1(m+P(m))+a_0 }$ που με ανάπτυγμα διωνύμου είναι ίσο για κάποια ακέραια A,B,C,...

με

$\displaystyle{a_n(m^n+AP(m)) + a_{n-1}(m^{n-1}+BP(m))+...+a_1(m+P(m))+a_0)= (a_nm^n+...+a_0)+CP(m)=}$

$\displaystyle{ =P(m)+CP(m) = DP(m)}$ που είναι γινόμενο δύο φυσικών

(διότι

). Άρα σύνθετος.

Edit αργότερα: Έκανα μικρή βελτίωση της απόδειξης ώστε να γίνει πιο ορατό ένα βήμα.

Πολυώνυμα και ολίγη θεωρία αριθμών

Πολυώνυμα και ολίγη θεωρία αριθμών

Re: Πολυώνυμα και ολίγη θεωρία αριθμών

Re: Πολυώνυμα και ολίγη θεωρία αριθμών

Re: Πολυώνυμα και ολίγη θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση