Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

aggeliki260807 · #1

Εάν ο αριθμός $\displaystyle{2^{100}}$ έχει $\displaystyle{31}$ ψηφία τότε πόσα ψηφία έχει ο $\displaystyle{5^{100}}$ ;

ΑΠΆΝΤΗΣΗ Σκέφτηκα να πολλαπλασιάσω το $\displaystyle{2^{100}}$ με το $\displaystyle{5^{100}}$ έτσι ώστε να μας κάνει $\displaystyle{10^{100}}$ και να ξέρουμε ότι ο αριθμός αυτός έχει $\displaystyle{100}$ μηδενικά $\displaystyle{+}$ το $\displaystyle{1}$ από μπροστά $\displaystyle{101}$ ψηφία.Όμως σε αυτά τα ψηφία συμπεριλαμβάνεται και η δύναμη $\displaystyle{2^{100}}$ που έχει $\displaystyle{31}$ ψηφία άρα με την αφαίρεση $\displaystyle{101-31=70}$ , ο $\displaystyle{5^{100}}$ θα έχει $\displaystyle{70}$ ψηφία
Αγγελική
δεν υπάρχει λύση και δεν ξέρω εάν είναι σωστός ο τρόπος μου

ΣΗΜ: Παρέμβαση για γραφή με LATEX

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

aggeliki260807 έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2020 12:42 pm Εάν ο αριθμός 2 εις την 100 (είναι η δύναμη ) έχει 31 ψηφία τότε πόσα ψηφία έχει ο 5 εις την 100

ΑΠΆΝΤΗΣΗ Σκέφτηκα να πολλαπλασιάσω το 2 εις την εκατό με το 5 εις την εκατό έτσι ώστε να μας κάνει 10 εις την εκατό και να ξέρουμε οτι ο αριθμός αυτος έχει 100 μηδενικά + το 1 από μπροστά 101 ψηφία.Όμως σε αυτά τα ψηφία συμπεριλαμβάνεται και η δύναμη 2 εις την 100 που εχει 31 ψηφία αρα με την αφαίρεση 101-31=70 ο 5 εις την 100 θα εχει 70 ψηφία
Αγγελική
δεν υπάρχει λύση και δεν ξέρω εαν είναι σωστός ο τρόπος μου

Το αποτέλεσμα είναι σωστό.
Ο τρόπος δεν είναι σωστός γενικά.
π.χ είναι 11.101=1111

και

Εκτός αν άλλο εννοείς.

Για να βρεις με σωστό τρόπο το αποτέλεσμα χρησιμοποίησε το εξής

Ο αριθμός

που δεν είναι δύναμη του

έχει

ψηφία αν και μόνο αν είναι

$10^{k-1}<x<10^k$ .

Καλό είναι να γράφεις σε Tex.
Δεν είναι κάτι δύσκολο.

throwaway123 · #3

aggeliki260807 έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2020 12:42 pm Εάν ο αριθμός 2 εις την 100 (είναι η δύναμη ) έχει 31 ψηφία τότε πόσα ψηφία έχει ο 5 εις την 100

ΑΠΆΝΤΗΣΗ Σκέφτηκα να πολλαπλασιάσω το 2 εις την εκατό με το 5 εις την εκατό έτσι ώστε να μας κάνει 10 εις την εκατό και να ξέρουμε οτι ο αριθμός αυτος έχει 100 μηδενικά + το 1 από μπροστά 101 ψηφία.Όμως σε αυτά τα ψηφία συμπεριλαμβάνεται και η δύναμη 2 εις την 100 που εχει 31 ψηφία αρα με την αφαίρεση 101-31=70 ο 5 εις την 100 θα εχει 70 ψηφία
Αγγελική
δεν υπάρχει λύση και δεν ξέρω εαν είναι σωστός ο τρόπος μου

Γειά σου Αγγελική! Αρχικά μπράβο σου που ασχολείσαι με τέτοια μαθηματικά, εγώ στην ηλικία σου καλά-καλά πράξεις δεν ήξερα

. Λοιπόν από το δεδομένο έπεται ότι $30<\log_{10}2^{100}<31 \Leftrightarrow 30<100 \log_{10}2<31\Leftrightarrow \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{31}{100}$
άρα $\log_{10}5^{100}= 100\log_{10}\frac{10}{2}= 100(\log_{10}10+\log_{10}\frac{1}{2})=100(1-\log_{10}2) \in (69,70)$ επομένως ο ζητούμενος αριθμός έχει 70 ψηφία

#4

4ptil έγραψε: Σάβ Μάιος 30, 2020 8:51 pm Γειά σου Αγγελική! Αρχικά μπράβο σου που ασχολείσαι με τέτοια μαθηματικά, εγώ στην ηλικία σου καλά-καλά πράξεις δεν ήξερα . Λοιπόν από το δεδομένο έπεται ότι $30<\log_{10}2^{100}<31 \Leftrightarrow 30<100 \log_{10}2<31\Leftrightarrow \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{31}{100}$
άρα $\log_{10}5^{100}= 100\log_{10}\frac{10}{2}= 100(\log_{10}10+\log_{10}\frac{1}{2})=100(1-\log_{10}2) \in (69,70)$ επομένως ο ζητούμενος αριθμός έχει 70 ψηφία

Δεν είναι ανάγκη να κάνουμε τόσο δύσκολο επιχείρημα για κάτι απλό. Άλλωστε οι λογάριθμοι είναι εκτός ύλης της Α Γυμνασίου.

Τον σωστό τρόπο τον υπέδειξε ο Σταύρος παραπάνω αλλά δεν φαίνεται να έγινε κατανοητός. Γράφω τα ίδια αλλά αναλυτικότερα.

Η άσκηση μας λέει ότι $10^{30} < 2^{100} < 10^{31}$ . Πολλαπλασιάζουμε επί $5^{100}$ , οπότε

$5^{100} \cdot 10^{30} < 10^{100} < 5^{100}\cdot 10^{31}$

H αριστερή δίνει $5^{100} < 10^{70}$ και η δεξιά $10^{69} < 5^{100}$ , δηλαδή $10^{69} < 5^{100}< 10^{70}$ .

Άρα το $5^{100}$ έχει

ψηφία.

throwaway123 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Μάιος 30, 2020 10:00 pm
4ptil έγραψε: Σάβ Μάιος 30, 2020 8:51 pm Γειά σου Αγγελική! Αρχικά μπράβο σου που ασχολείσαι με τέτοια μαθηματικά, εγώ στην ηλικία σου καλά-καλά πράξεις δεν ήξερα . Λοιπόν από το δεδομένο έπεται ότι $30<\log_{10}2^{100}<31 \Leftrightarrow 30<100 \log_{10}2<31\Leftrightarrow \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{31}{100}$
άρα $\log_{10}5^{100}= 100\log_{10}\frac{10}{2}= 100(\log_{10}10+\log_{10}\frac{1}{2})=100(1-\log_{10}2) \in (69,70)$ επομένως ο ζητούμενος αριθμός έχει 70 ψηφία
Δεν είναι ανάγκη να κάνουμε τόσο δύσκολο επιχείρημα για κάτι απλό. Άλλωστε οι λογάριθμοι είναι εκτός ύλης της Α Γυμνασίου.

Τον σωστό τρόπο τον υπέδειξε ο Σταύρος παραπάνω αλλά δεν φαίνεται να έγινε κατανοητός. Γράφω τα ίδια αλλά αναλυτικότερα.

Η άσκηση μας λέει ότι $10^{30} < 2^{100} < 10^{31}$ . Πολλαπλασιάζουμε επί $5^{100}$ , οπότε

$5^{100} \cdot 10^{30} < 10^{100} < 5^{100}\cdot 10^{31}$

H αριστερή δίνει $5^{100} < 10^{70} < 5^{100}$ και η δεξιά $10^{69} < 5^{100}$ , δηλαδή $10^{69} < 5^{100}< 10^{70}$ .

Άρα το $5^{100}$ έχει ψηφία.

Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

Re: Άσκηση δυνάμεων a γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση