μιγαδικοί - ολοκλήρωμα

Ιστοσελίδα · #1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ και z μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε για κάθε x πραγματικό να ισχύει:

$\displaystyle{ e^{\left| {z + 3i} \right|x} \ge 2\left| z \right|x + 1 + \int\limits_0^{x^2 } {f(t)dt} }$ (1)

α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {z + 3i} \right| = 2\left| z \right|}$ (2)

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την σχέση (2)

γ) Να βρείτε τον μιγαδικό z που έχει μέτρο: i) μέγιστο ii) ελάχιστο.

δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^{2\left| z \right|x} - 2\left| z \right|x - 1}}{{x^2 }} \ge f(0) }$

ε) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(0) \le 18}$

mathxl · #2

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Rania · #3

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ και z μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε για κάθε x πραγματικό να ισχύει:

$\displaystyle{ e^{\left| {z + 3i} \right|x} \ge 2\left| z \right|x + 1 + \int\limits_0^{x^2 } {f(t)dt} }$ (1)

α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {z + 3i} \right| = 2\left| z \right|}$ (2)

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την σχέση (2)

γ) Να βρείτε τον μιγαδικό z που έχει μέτρο: i) μέγιστο ii) ελάχιστο.

δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^{2\left| z \right|x} - 2\left| z \right|x - 1}}{{x^2 }} \ge f(0) }$

ε) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(0) \le 18}$

α)Τα φερνουμε ολα στο δεξι μελος, θεωρουμε συναρτηση g, οποτε βγαινει $g(x)\leq g(0)$
η f συνεχης αρα η συναρτηση-ολοκληρωμα παραγωγισιμη, η εκθετικη παραγωγισιμη ως συνθεση παραγωγισιμων, αρα η g παραγωγισιμη στο R ως αθροισμα παραγωγισιμων. Επομενως ειναι και παραγωγισιμη στο 0 που ειναι εσωτερικο σημειο του R (προφανως

), παρουσιαζει ολικο μεγιστο στο 0, αρα απο Fermat g'(0)=0 απ'οπου προκυπτει το ζητουμενο.

Θα επιστρεψω πιο αναλυτικα για τα αλλα ερωτηματα, τα εχω στο χαρτι.

μιγαδικοί - ολοκλήρωμα

μιγαδικοί - ολοκλήρωμα

Re: μιγαδικοί - ολοκλήρωμα

Re: μιγαδικοί - ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση