Ευρεση ριζας ,ευρεση συναρτησης

kost65 · #1

Μια παραλλαγη ασκησης απο τα ''ολοκληρωματα του 1998'' Στεργιου/Νακης/Στεργιου
ωστε να γινει πιο ''προσιτη''.

Δινεται η συνεχης συναρτηση $f:R\rightarrow R$
α) Να λυθει η εξισωση $x=\int_{0}^{-x}{e^{t^{2}}}dt$
β) Να βρεθει η συναρτηση f αν ισχυει $f(x)=\int_{0}^{-f(x)}{e^{t^{2}}}dt$ για καθε $x \in R$ .

Αθανασιαδης Κωστας

Christos.N · #2

Για το α)
προφανής ρίζα το 0 ,αφού $\displaystyle{0 = \int_0^0 {{e^{{t^2}}}} dt}$

Έστω $\displaystyle{g(x) = x - \int_0^{ - x} {{e^{{t^2}}}} dt}$ , $\displaystyle{x \in R}$
και $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ όπου $\displaystyle{g(\alpha ) = 0}$

Ας υποθέσουμε ότι α<0 .

Η g είναι συνεχής ως πράξεις και σύνθεση συνεχώων συναρτήσεων στο [α,0]

παραγωγίσιμη ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (α,0), και g(a)=g(0) ,

συνεπώς ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα

ξ, όπου $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,0):g'(\xi ) = 0}$

Όμως $\displaystyle{g'(x) = 1 + {e^{{x^2}}} > 0}$

άρα άτοπο.

Ομοίως εργαζόμαστε αν α>0, άρα το 0 είναι μοναδική ρίζα.

Για το β)
Εφαρμογή του προηγούμενου διαφωτιστικότατου ερωτήματος , άρα f(x)=0.

#3

Για το α) η σχέση γράφεται $-x=\displaystyle\int_0^{-x}-e^{t^2}dt \Rightarrow \displaystyle\int_0^{-x}dt=\displaystyle\int_0^{-x}-e^{t^2}dt \Rightarrow \displaystyle\int_0^{-x}(1+e^{t^2})dt=0 \Rightarrow -x=0 \Rightarrow x=0$ .
To b) εφαρμογή του α)
Φιλικά

#4

kost65 έγραψε:Μια παραλλαγη ασκησης απο τα ''ολοκληρωματα του 1998'' Στεργιου/Νακης/Στεργιου
ωστε να γινει πιο ''προσιτη''.

Δινεται η συνεχης συναρτηση $f:R\rightarrow R$
α) Να λυθει η εξισωση $x=\int_{0}^{-x}{e^{t^{2}}}dt$
β) Να βρεθει η συναρτηση f αν ισχυει $f(x)=\int_{0}^{-f(x)}{e^{t^{2}}}dt$ για καθε $x \in R$ .

Πιό απλά: Επειδή η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είνα γνήσια θετική, το ολοκλήρωμα είναι γνήσια φθίνουσα (απλό) συνάρτηση. Από την άλλη η x είναι γνήσια αύξουσα. Άρα οι δύο τέμνονται το πολύ μία φορά. Άρα μοναδική ρίζα η προφανής, χ=0.
β) Από το α), f(x) = 0 για κάθε x.

Φιλικά,

M.

Edit: Το έγραψα όσο έστελνε ο Σπύρος την δική του, συντομότατη, λύση.

#5

ακόμη ένας τρόπος
a)Απο ΘΜΤολ
$\displaystyle{x=-xe^{t^2} }$
αν $\displaystyle{x\ne 0 }}$ τότε $\displaystyle{{-1=e^{u{^2} }$ ατοπο
αρα $\displaystyle{x=0}$
b)εφαρμογή του α) ερωτήματος

Ευρεση ριζας ,ευρεση συναρτησης

Ευρεση ριζας ,ευρεση συναρτησης

Re: Ευρεση ριζας ,ευρεση συναρτησης

Re: Ευρεση ριζας ,ευρεση συναρτησης

Re: Ευρεση ριζας ,ευρεση συναρτησης

Re: Ευρεση ριζας ,ευρεση συναρτησης

Μέλη σε σύνδεση