Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (7η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 7ης τάξης, 2020.

1. Δίνονται μερικές παράλληλες ράγες. Πάνω σε αυτές τις ράγες είναι σταθμευμένα

φορτηγά και

επιβατικά βαγόνια, κάθε βαγόνι βρίσκεται πάνω σε δυο γειτονικές ράγες. Ένα βαγόνι ονομάζεται μετακινήσιμο, αν και οι δυο ράγες στις οποίες αυτό βρίσκεται, δεν είναι κατειλημμένες από άλλα βαγόνια (στο σχήμα που δίνεται δεν υπάρχουν μετακινήσιμα βαγόνια). Μεταξύ των επιβατικών βαγονιών μετακινήσιμα είναι ακριβώς

και μεταξύ των φορτηγών ακριβώς

. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει ράγα, στην οποία βρίσκονται οι τροχοί τουλάχιστον δυο φορτηγών βαγονιών.

: spmo_2020_class7_pr1.png (6.56 KiB) Προβλήθηκε 1714 φορές

2. Ένα ζεύγος μη μηδενικών φυσικών αριθμών a > b

ονομάζεται καλό, αν ο Μ.Κ.Δ. αυτών των αριθμών διαιρείται με την διαφορά τους. Μεταξύ όλων των φυσικών διαιρετών του αριθμού

μπόρεσε να βρεθεί ακριβώς ένα καλό ζεύγος. Με τι μπορεί να ισούται ο

;

3. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC

φέρουμε την διχοτόμο

. Στην βάση

δίνεται σημείο

, ώστε

. Να αποδείξετε, ότι μπορεί να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο με παράπλευρη πλευρά

και βάση

.

4. Ο Δημήτρης και ο Γρηγόρης παίζουν το παιχνίδι «μηδενικά-μηδενικά». Στην αρχή του παιχνιδιού ο Γρηγόρης σχηματίζει ένα πίνακα $14 \times n$ (τον αριθμό

των διαλέγει ο Γρηγόρης). Με μια κίνηση επιτρέπεται να τοποθετηθεί ένα μηδενικό σε οποιοδήποτε κενό κελί του πίνακα. Κινούνται με την σειρά, πρώτος παίζει ο Γρηγόρης. Κερδίζει εκείνος ο παίχτης, μετά την κίνηση του οποίου σχηματίζονται στον πίνακα

διαδοχικά μηδενικά οριζοντίως ή καθέτως. Ποιος από τους παίχτες μπορεί να κερδίσει ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο άλλος;

Καταληκτική αίθουσα

5. Κοντά σε μια λιμνούλα δημιουργήθηκε ένα πάρκο, στο σχήμα φαίνεται το σχέδιο του. Όλες οι διαδρομές στο πάρκο είναι ευθείες (χωρίς υψομετρικές αλλαγές). Στο σχήμα φαίνονται τα μήκη των τμημάτων των διαδρομών. Δυο τεμνόμενες διαδρομές έχουν ασφαλτοστρωθεί, αυτές οι διαδρομές στο σχήμα φαίνονται πιο έντονα. Μελετάται η κατασκευή ακόμη δυο ευθείων διαδρομών, στο σχήμα φαίνονται με διακεκομμένες γραμμές. Να αποδείξετε, ότι θα έχουν το ίδιο μήκος.

: spmo_2020_class7_pr5.png (35.1 KiB) Προβλήθηκε 1714 φορές

6. Στις κορυφές κυρτού 2020-

γώνου είναι τοποθετημένοι αριθμοί, εξάλλου μεταξύ οποιονδήποτε τριών διαδοχικών κορυφών θα βρεθεί και κορυφή με τον αριθμό

, καθώς και με τον αριθμό

. Σε κάθε τμήμα, που ενώνει δυο κορυφές, είναι γραμμένο το γινόμενο των αριθμών που βρίσκεται σε αυτές τις κορυφές. Η Ανδρομέδα υπολόγισε το άθροισμα των αριθμών, που είναι γραμμένοι στις πλευρές του πολυγώνου, ίσο με

και η Βερενίκη στις διαγώνιους, που ενώνουν τις κορυφές ανά μια, ίσο με

. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή της διαφοράς B-A

.

7. Στον πίνακα είναι γραμμένος ο μη μηδενικός αριθμός

. Ο Γιώργος διαλέγει ένα μη μηδενικό φυσικό αριθμό

και γράφει δεξιά του αριθμού

τον αριθμό

, ύστερα τον αριθμό

κ.ο.κ. μέχρι τον αριθμό

. Να αποδείξετε, ότι Γιώργος μπορεί να διαλέξει τον αριθμό

με τέτοιο τρόπο, ώστε ο αριθμός που προκύπτει να διαιρείται με τον

.

Πηγή

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Ιουν 26, 2020 3:11 pm Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 7ης τάξης, 2020.

3. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Στην βάση δίνεται σημείο , ώστε . Να αποδείξετε, ότι μπορεί να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο με παράπλευρη πλευρά και βάση .

Έστω

Αρκεί να δείξω ότι BD<2BK.

: MOAP(2020)(7G).png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 1680 φορές

Λόγω διχοτόμου, $\displaystyle BK = \frac{{{a^2}}}{{a + b}}$ και από $\displaystyle {\rm{Stewart}},$ $\displaystyle {a^3} + {a^2}(b - a) = B{D^2} \cdot b + ab(b - a),$ απ' όπου

$\displaystyle B{D^2} = 2{a^2} - ab.$ Άρα, $\displaystyle BD < 2BK \Leftrightarrow B{D^2} < 4B{K^2} \Leftrightarrow 2a - b < \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2{a^3} - 3{a^2}b + {b^3} > 0 \Leftrightarrow 2{a^3} - 2{a^2}b - {a^2}b + {b^3} = 2a(a - b) - b((a - b)(a + b) > 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (a - b)(2{a^2} - ab - {b^2}) > 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2}(2a + b) > 0$ που ισχύει.

Al.Koutsouridis · #3

Για το τρίτο πρόβλημα.

: spmo_2020_class7_pr3.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 1653 φορές

Το τρίγωνο CBD

είναι ισοσκελές από τα δεδομένα του προβλήματος. Έστω

το μέσο της βάσης του

. Θεωρούμε την ευθεία

η οποιά είναι και ύψος και διχοτόμος. Έστω

το σημείο τομής της

με την πλευρά

. Λόγω της συμμετρίας θα είναι BL=BK

. Το σημείο

βρίσκεται στη μεσοκάθετο του τμήματος

, άρα

. Το τρίγωνο LBD

είναι το ζητούμενο κατασκευασθέν.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Ιουν 26, 2020 3:11 pm Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 7ης τάξης, 2020.

3. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Στην βάση δίνεται σημείο , ώστε . Να αποδείξετε, ότι μπορεί να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο με παράπλευρη πλευρά και βάση .

Πηγή

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την διχοτόμο

και

η τομή των $AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ .

Προφανώς η

είναι μεσοκάθετος στο

, οπότε : $KB = KS\,\,\left( * \right)$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο TAS

είναι, $\widehat {{\omega _2}} = 90^\circ - \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .
.

: ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020.png (16.91 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

.
Από δε το ισοσκελές τρίγωνο CBD

είναι, $2\widehat {{\omega _1}} + 2\widehat {{\theta _{}}} = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat {{\omega _1}} = 90^\circ - \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Οι $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ μου εξασφαλίζουν ότι: BS = BD

και άρα , λόγω και της $\left( * \right)$ , στο ισοσκελές τρίγωνο KBS

η βάση του , BS = BD

.

Altrian · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Ιουν 26, 2020 3:11 pm Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 7ης τάξης, 2020.

Καταληκτική αίθουσα

5. Κοντά σε μια λιμνούλα δημιουργήθηκε ένα πάρκο, στο σχήμα φαίνεται το σχέδιο του. Όλες οι διαδρομές στο πάρκο είναι ευθείες (χωρίς υψομετρικές αλλαγές). Στο σχήμα φαίνονται τα μήκη των τμημάτων των διαδρομών. Δυο τεμνόμενες διαδρομές έχουν ασφαλτοστρωθεί, αυτές οι διαδρομές στο σχήμα φαίνονται πιο έντονα. Μελετάται η κατασκευή ακόμη δυο ευθείων διαδρομών, στο σχήμα φαίνονται με διακεκομμένες γραμμές. Να αποδείξετε, ότι θα έχουν το ίδιο μήκος.

spmo_2020_class7_pr5.png

Πηγή

Για το 5

$\angle C_{1}=\angle ACG=60+\phi.... \angle C_{2}=60-\angle ECD....C_{1}+C_{2}=120\Rightarrow \angle ECD=\phi$

Παίρνω τμήμα CF=b

πάνω στην

. Τότε έχω $\triangle ABC=\triangle BAC$ .

Αλλά $\angle BAC=30-\phi\Rightarrow \angle FDC=30-\phi\Rightarrow \angle DFE=30$

Αρα ED=DF=AB

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (7η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (7η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση