Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

#1

Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b

ώστε

. Να δειχθεί ότι $3a+4b \leqslant 5$ . Πότε ισχύει η ισότητα;

Παρακαλώ διαβάστε το μήνυμα στο hide.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Pantelis.N · #2

Αν

η ανισότητα είναι προφανής.

Έστω 3a+4b> 0

Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε $(3a+4b)^2\leq 25$

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε $(9+16)(a^2+b^2)\geq (3a+4b)^2$

Άρα αρκεί $(9+16)(a^2+b^2)\leq 25$ που ισχύει εφόσον a^2+b^2=1

Ισότητα για $\frac{3}{a}=\frac{4}{b}\Leftrightarrow a=\frac{3b}{4}$

Όπου από τη σχέση a^2+b^2=1

προκύπτει $b=\frac{4}{5}$ , άρα $a=\frac{3}{5}$

llenny · #3

#4

Pantelis.N έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε $(3a+4b)^2\leq 25$

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε $(9+16)(a^2+b^2)\geq (3a+4b)^2$

Άρα αρκεί $(9+16)(a^2+b^2)\leq 25$ που ισχύει εφόσον

Η λύση σου έχει πρόβλημα. Βρες το και αν χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε.

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Μέλη σε σύνδεση