Ακτίνα ημικυκλίου

polysindos · #1

,

Να υπολογίσετε την ακτίνα του ημικύκλιου

#2

: ακτίνα ημικυκλίου extra.png (52.43 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

$R = \sqrt 7$

Edit: Άρση απόκρυψης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

polysindos έγραψε: Τρί Αύγ 18, 2020 6:34 pm ,

Να υπολογίσετε την ακτίνα του ημικύκλιου

Με

συμμετρικό του

ως προς

ο κύκλος

περνά από το

,και λόγω ισότητας των πράσινων

γωνιών θα είναι DA=//CZ=1

.

Έτσι, DAEZ

ισοσκελές τραπέζιο,οπότε DA=EZ=1

και το τρίγωνο EZC

είναι ισόπλευρο

Συνεπώς $\angle DAE=120^0 \Rightarrow DE=R \sqrt{3}$ .Τέλος ,με ν.συνημιτόνου στο $\triangle DAE \Rightarrow R= \sqrt{7}$

: Ακτίνα ημικυκλίου.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

#4

polysindos έγραψε: Τρί Αύγ 18, 2020 6:34 pm ,

Να υπολογίσετε την ακτίνα του ημικύκλιου

Γενίκευση Ανάλυση.

Έστω το ισοσκελές $\vartriangle ABC$ . για τα σημεία D,E

των $AB\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ είναι $DB = AE = b\,\,$ , οπότε θα είναι και DA = EC = a

.

Υποθέτω ότι υπάρχει ημικύκλιο που έχει το κέντρο του

στην

και διέρχεται από τα σημεία : A,D,E

( τέμνει δε την

κατά διάμετρο $\overline {LOK}$ )

Οι κύκλοι : $\left( {A,B,O} \right)\,\,,\,\,\left( {A,C,O} \right)$ , $\left( {B,D,O} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,E,O} \right)$ είναι ίσοι γιατί έχουν απέναντι από τις πλευρές μήκους

γωνίες $\widehat {{B_{}}} = \widehat {{C_{}}}$ .

Κρατάω μόνο τους δύο πρώτους . Φέρνω τη μεσοκάθετο στην

που τέμνει το ημικύκλιο στα $H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

: Ακτίνα ημικυκλίου γενίκευση.png (39.4 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Επειδή

θα είναι $\widehat {TAC} = \widehat {BAH} = \widehat {{\omega _{}}}$ , οπότε τα ισοσκελή , $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle AHT$ είναι όμοια με άμεσες συνέπειες : $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {THA} = \widehat {{B_{}}} = \widehat C$ .

Επίσης $\widehat {ATO} = 2\widehat {{\theta _{}}} = 2\widehat {{B_{}}}$ που μας εξασφαλίζει ότι το

είναι το κέντρο του

κύκλου $\left( {A,O,C} \right)$ ομοίως δε και το

είναι κέντρο του $\left( {A,O,B} \right)$ .

Όμως για το ημικύκλιο η χορδή $\boxed{HT = {\lambda _3} \Rightarrow 2\widehat {{\theta _{}}} = 60^\circ }$

Μετά απ’ αυτά : $\vartriangle ABC \to \left( {120^\circ ,30^\circ ,30^\circ } \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DAE} = \widehat {EOD} = 120^\circ$ .

Με εφαρμογή του Θ. συνημίτονου στα $\vartriangle ADE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ODE$ έχω:

$\boxed{{R^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + ab}}{3} \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + ab}}{3}} }$

#5

polysindos έγραψε: Τρί Αύγ 18, 2020 6:34 pm ,

Να υπολογίσετε την ακτίνα του ημικύκλιου

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου και

το μέσο της BC.

Θέτω

οπότε $\displaystyle BM = \frac{{a + b}}{2},MO = \frac{{a - b}}{2}.$ Από τέμνουσες κύκλου έχω:

: Ακτίνα ημικυκλίου.Ρ.png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 20 = {a^2} - {R^2}\\ \\ 5 = {b^2} - {R^2} \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{15=a^2-b^2}$ (1)

και $\boxed{25=a^2+b^2-2R^2}$ (2)

$\displaystyle A{B^2} - A{O^2} = B{M^2} - M{O^2} \Leftrightarrow 25 - {R^2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} = ab\mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$ $\boxed{a+b=5\sqrt 3}$

Λύνοντας τώρα το σύστημα των (1), (2), (3),

βρίσκω $a=3\sqrt 3}, b=2\sqrt 3$ και $\boxed{R=\sqrt 7}$

Ακτίνα ημικυκλίου

Ακτίνα ημικυκλίου

Re: Ακτίνα ημικυκλίου

Re: Ακτίνα ημικυκλίου

Re: Ακτίνα ημικυκλίου

Re: Ακτίνα ημικυκλίου

Μέλη σε σύνδεση