Σχέση σε τρίγωνο

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ ισχύει ότι:

$\displaystyle{\left ( \frac{\beta}{\gamma} + \frac{\gamma}{\beta} \right ) \cos \mathrm{A} + \left ( \frac{\gamma}{\alpha} + \frac{\alpha}{\gamma} \right ) \cos \mathrm{B} + \left ( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right ) \cos \Gamma = 3}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 21, 2020 9:40 am
Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ ισχύει ότι:

$\displaystyle{\left ( \frac{\beta}{\gamma} + \frac{\gamma}{\beta} \right ) \cos \mathrm{A} + \left ( \frac{\gamma}{\alpha} + \frac{\alpha}{\gamma} \right ) \cos \mathrm{B} + \left ( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right ) \cos \Gamma = 3}$

Ίσως να υπάρχει και ευκολότερη λύση. Από νόμο συνημιτόνου, $\displaystyle \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.$ Οπότε:

$\displaystyle \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)\cos A = \frac{{({b^2} + {c^2})({b^2} + {c^2} - {a^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} = \frac{{{b^4} + {c^4} - {a^2}({b^2} + {c^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} + 1$

Το ζητούμενο άθροισμα λοιπόν γράφεται:

$\displaystyle S = 3 + \frac{{{b^4} + {c^4} - {a^2}({b^2} + {c^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} + \frac{{{a^4} + {b^4} - {c^2}({b^2} + {a^2})}}{{2{a^2}{b^2}}} + \frac{{{a^4} + {c^4} - {b^2}({a^2} + {c^2})}}{{2{a^2}{c^2}}}$

$\displaystyle S = 3 + \frac{{{a^2}({b^4} + {c^4}) - {a^4}({b^2} + {c^2}) + {c^2}({a^4} + {b^4}) - {c^4}({b^2} + {a^2}) + {b^2}({a^4} + {c^4}) - {b^4}({a^2} + {c^2})}}{{2{a^2}{b^2}{c^2}}}$

Μετά τις πράξεις ο αριθμητής του κλάσματος είναι

άρα $\boxed{S=3}$

Σχέση σε τρίγωνο

Σχέση σε τρίγωνο

Re: Σχέση σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση