Σύνθεση

christodoulou · #1

Αν $f(x)=-x^{2}$ να βρείτε όλες τις συναρτήσεις g για τις οποίες ισχύει $(gof)(x)=\sqrt{1+x^{2}}$ .

#2

christodoulou έγραψε:Αν $f(x)=-x^{2}$ να βρείτε όλες τις συναρτήσεις g για τις οποίες ισχύει $(gof)(x)=\sqrt{1+x^{2}}$ .

Προφανώς, οποιαδήποτε συνάρτηση για την οποία ισχύει

$g(x)=\sqrt{1-x}$ για $x\leq 0$ .

Αχιλλέας

christodoulou · #3

Σωστά. Αυτό που θα ήθελα να επισημάνω είναι ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση , της μορφής :
$\displaystyle{g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 - x} {\rm{ }}{\rm{, }} x \in ( - \infty ,0] \\ h(x){\rm{ }}{\rm{, }}x \in A - ( - \infty ,0] \\ \end{array} \right.{\rm{ }}$ όπου Α το πεδίο ορισμού της g.

pavlos · #4

γιατι x<=0 και οχι x<=1 ????

#5

pavlos έγραψε:γιατι x<=0 και οχι x<=1 ????

Διότι το σύνολο τιμών της

είναι (υπο)σύνολο του $(-\infty,0]$ .

(Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης των δυο σναρτήσεων; Το σύνολο τιμών της

).

Λίγο πιο αναλυτικά:

Αν $x\leq 0$ , τότε μπορύμε να γράψουμε x=-a^2

για κάποιο πραγματικό

, οπότε

$g(x)=g(-a^2)=g(f(a))=\sqrt{1+a^2}=\sqrt{1-x}$ .

Αν 0<x

, το

μπορεί να είναι οτιδήποτε, όχι απαραίτητα $\sqrt{1-x}$ .

Το ότι η συνάρτηση $x\mapsto \sqrt{1-x}$ ορίζεται για $x\leq 1$ κι όχι μόνο για $x\leq 0$ , δε μας ενδιαφέρει τόσο για τον τύπο της

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

manos66 · #6

christodoulou έγραψε:Σωστά. Αυτό που θα ήθελα να επισημάνω είναι ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση , της μορφής :
$\displaystyle{g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 - x} {\rm{ }}{\rm{, }} x \in ( - \infty ,0] \\ h(x){\rm{ }}{\rm{, }}x \in A - ( - \infty ,0] \\ \end{array} \right.{\rm{ }}$ όπου Α το πεδίο ορισμού της g.

Mία "όμορφη" g είναι η $g (x) = \sqrt{1+\left|x \right|},x\epsilon R$

pavlos · #7

achilleas έγραψε:
pavlos έγραψε:γιατι x<=0 και οχι x<=1 ????
Διότι το σύνολο τιμών της είναι (υπο)σύνολο του $(-\infty,0]$ .

(Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης των δυο σναρτήσεων; Το σύνολο τιμών της ).

Λίγο πιο αναλυτικά:

Αν $x\leq 0$ , τότε μπορύμε να γράψουμε για κάποιο πραγματικό , οπότε

$g(x)=g(-a^2)=g(f(a))=\sqrt{1+a^2}=\sqrt{1-x}$ .

Αν , το μπορεί να είναι οτιδήποτε, όχι απαραίτητα $\sqrt{1-x}$ .

Το ότι η συνάρτηση $x\mapsto \sqrt{1-x}$ ορίζεται για $x\leq 1$ κι όχι μόνο για $x\leq 0$ , δε μας ενδιαφέρει τόσο για τον τύπο της .

Φιλικά,

Αχιλλέας

δηλαδη για x=1/2 δεν οριζονται οι g(x),gof(x) ?
Παυλος

#8

pavlos έγραψε:
achilleas έγραψε:
pavlos έγραψε:γιατι x<=0 και οχι x<=1 ????
Διότι το σύνολο τιμών της είναι (υπο)σύνολο του $(-\infty,0]$ .

(Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης των δυο σναρτήσεων; Το σύνολο τιμών της ).

Λίγο πιο αναλυτικά:

Αν $x\leq 0$ , τότε μπορύμε να γράψουμε για κάποιο πραγματικό , οπότε

$g(x)=g(-a^2)=g(f(a))=\sqrt{1+a^2}=\sqrt{1-x}$ .

Αν , το μπορεί να είναι οτιδήποτε, όχι απαραίτητα $\sqrt{1-x}$ .

Το ότι η συνάρτηση $x\mapsto \sqrt{1-x}$ ορίζεται για $x\leq 1$ κι όχι μόνο για $x\leq 0$ , δε μας ενδιαφέρει τόσο για τον τύπο της .

Φιλικά,

Αχιλλέας

δηλαδη για x=1/2 δεν οριζονται οι g(x),gof(x) ?
Παυλος

Μια χαρά ορίζονται. Αλλά δεν είναι ανάγκη να ορίσεις την g(x)

ως $\sqrt{1-x}$ για x>0

.
To

μπορεί να είναι οτιδήποτε.

Ενώ για $x\leq 0$ *πρέπει* οπωσδήποτε να είναι $g(x)=\sqrt{1-x}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Σύνθεση

Σύνθεση

Re: Σύνθεση

Re: Σύνθεση

Re: Σύνθεση

Re: Σύνθεση

Re: Σύνθεση

Re: Σύνθεση

Re: Σύνθεση

Μέλη σε σύνδεση