Απόδειξη ανισότητας

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #1

Αν

, να αποδείξετε ότι:

$\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}< \frac{e^{a}+e^{b}}{2}$ .

#2

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: Παρ Δεκ 11, 2020 4:40 pm Αν , να αποδείξετε ότι:

$\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}< \frac{e^{a}+e^{b}}{2}$ .

Πολλαπλασιάζοντας επί $e^{-a}$ ισοδυναμεί με απόδειξη της $\dfrac{e^{b-a}-1}{b-a}< \dfrac{1+e^{b-a}}{2}$ . Γράφοντας x=b-a>0

θέλουμε λοιπόν να δείξουμε ότι

$\dfrac{e^{x}-1}{x}< \dfrac{1+e^{x}}{2}$ , ισοδύναμα (2-x)e^x< (x+2)

, για

. Όμως η

ικανοποιεί f'(x) = 1-(2-x)e^x+e^x=e^x(x-1)+1

, άρα $f''(x)=xe^x\ge 0$ (μάλιστα

για

). Έπεται ότι

γνήσια αύξουσα, οπότε για x>0

είναι

, οπότε με την σειρά της η

είναι γνήσια αύξουσα, δηλαδή f(x) >f(0)=0

. Και λοιπά.

#3

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: Παρ Δεκ 11, 2020 4:40 pm Αν , να αποδείξετε ότι:

$\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}< \frac{e^{a}+e^{b}}{2}$ .

Έστω $\displaystyle f(x) = \frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}} - \frac{x}{2}.$ Είναι $\displaystyle f'(x) = - \frac{{{{({e^x} - 1)}^2}}}{{2{{({e^x} + 1)}^2}}} \le 0$

$\displaystyle b - a > 0 \Rightarrow f(b - a) < f(0) \Leftrightarrow \frac{{{e^{b - a}} - 1}}{{{e^{b - a}} + 1}} - \frac{{b - a}}{2} < 0,$ απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης.

Tolaso J Kos · #4

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: Παρ Δεκ 11, 2020 4:40 pm Αν , να αποδείξετε ότι:

$\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}< \frac{e^{a}+e^{b}}{2}$ .

Η

είναι κυρτή. Η ανισότητα Hadamard μας δίδει αμέσως το αποτέλεσμα. Οπότε, το αποτέλεσμα πλέον είναι άμεσο.

KARKAR · #5

Μία παρόμοιας λογικής ( αλλά εκτός σχολικής ύλης ) : εδώ

#6

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: Παρ Δεκ 11, 2020 4:40 pm Αν , να αποδείξετε ότι:

$\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}< \frac{e^{a}+e^{b}}{2}$ .

Μας ξέφυγε το εύκολο:

Το εμβαδόν κάτω από την y=e^x

στο $[a,\,b]$ είναι μικρότερο από από το τραπέζιο της εικόνας. Άρα

$\displaystyle{ e^b-e^a = \int _a^be^x\,dx < \dfrac {1}{2}(e^a+e^b)(b-a)}$ , από όπου η ζητούμενη.

Απόδειξη ανισότητας

Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Μέλη σε σύνδεση