Διαιρέτες

#1

Έστω Ν ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Ο Σάββας γράφει όλους τους διαιρέτες του Ν, εκτός από το 1 και το Ν και παρατηρεί ότι από αυτούς τους διαιρέτες που έμειναν, ο μεγαλύτερος είναι 45πλάσιος του μικρότερου. Ο Ν είναι ίσος με...

Joaakim · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 3:25 am
Έστω Ν ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Ο Σάββας γράφει όλους τους διαιρέτες του Ν, εκτός από το 1 και το Ν και παρατηρεί ότι από αυτούς τους διαιρέτες που έμειναν, ο μεγαλύτερος είναι 45πλάσιος του μικρότερου. Ο Ν είναι ίσος με...

Προφανώς ο

δεν είναι πρώτος.
Ο δεύτερος μεγαλύτερος διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού

ισούται με N/2

. Τότε ο

είναι ίσος με

φορές τον δεύτερο μεγαλύτερο του διαιρέτης. Τότε N=0 (mod. 2)

, άρα

άρτιος. Όμως ο κάθε άρτιος αριθμός έχει δεύτερο μεγαλύτερό του διαιρέτη το

, άρα

.

#3

Joaakim έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 9:01 am

Ο δεύτερος μεγαλύτερος διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού ισούται με .

Ιωακείμ, για ξαναδές το αυτό.

kfd · #4

Kι αν είναι ο 405;

Joaakim · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 9:35 am

Joaakim έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 9:01 am

Ο δεύτερος μεγαλύτερος διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού ισούται με .
Ιωακείμ, για ξαναδές το αυτό.

Έχετε δίκιο κύριε Λάμπρου, πάνω στη βιασύνη μου δεν είδα ότι αυτό ισχύει μόνο για άρτιους. Θα επανέλθω.

Philip.kal · #6

Καλημέρα!

Έστω k,n

οι δύο αυτοί διαιρέτες του

με

και

. Προφανώς θα ισχύει ότι: $\frac{N}{k}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{N}{45n}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45|N$ .

Στο σημείο αυτό, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1η περίπτωση: Ο

είναι άρτιος. Τότε, ο αμέσως μεγαλύτερος διαιρέτης του

από το

θα είναι το

. Συνεπώς, ισχύει: n=2

και $k=45n\Leftrightarrow k=90$ . Έτσι, παίρνουμε ότι: N=180

.

2η περίπτωση: Ο

είναι περιττός. Όπως πριν, θα ισχύει ότι: $N=kn\Leftrightarrow N=45n^2\Leftrightarrow N=3\cdot 15n^2$ . Συνεπώς, ο αμέσως επόμενος διαιρέτης του

μετά το

θα είναι το

και θα ισχύει: n=3

, απ' όπου έχουμε ότι: N=405

#7

Philip.kal έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 10:51 am
Καλημέρα!

Έστω οι δύο αυτοί διαιρέτες του με και . Προφανώς θα ισχύει ότι: $\frac{N}{k}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{N}{45n}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45|N$ .

Στο σημείο αυτό, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1η περίπτωση: Ο είναι άρτιος. Τότε, ο αμέσως μεγαλύτερος διαιρέτης του από το θα είναι το . Συνεπώς, ισχύει: και $k=45n\Leftrightarrow k=90$ . Έτσι, παίρνουμε ότι: .

2η περίπτωση: Ο είναι περιττός. Όπως πριν, θα ισχύει ότι: $N=kn\Leftrightarrow N=45n^2\Leftrightarrow N=3\cdot 15n^2$ . Συνεπώς, ο αμέσως επόμενος διαιρέτης του μετά το θα είναι το και θα ισχύει: , απ' όπου έχουμε ότι:

Σωστά, αλλά δεν τελειώσαμε.

Βρήκες τους δύο μικρότερους

. Το ερώτημα είναι να τους βρεις όλους. Δηλαδή εδώ, ή θα αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλοι ή θα βρεις και τους υπόλοιπους.

Philip.kal · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 10:56 am

Philip.kal έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 10:51 am
Καλημέρα!

Έστω οι δύο αυτοί διαιρέτες του με και . Προφανώς θα ισχύει ότι: $\frac{N}{k}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{N}{45n}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45|N$ .

Στο σημείο αυτό, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1η περίπτωση: Ο είναι άρτιος. Τότε, ο αμέσως μεγαλύτερος διαιρέτης του από το θα είναι το . Συνεπώς, ισχύει: και $k=45n\Leftrightarrow k=90$ . Έτσι, παίρνουμε ότι: .

2η περίπτωση: Ο είναι περιττός. Όπως πριν, θα ισχύει ότι: $N=kn\Leftrightarrow N=45n^2\Leftrightarrow N=3\cdot 15n^2$ . Συνεπώς, ο αμέσως επόμενος διαιρέτης του μετά το θα είναι το και θα ισχύει: , απ' όπου έχουμε ότι:
Σωστά, αλλά δεν τελειώσαμε.

Βρήκες τους δύο μικρότερους . Το ερώτημα είναι να τους βρεις όλους. Δηλαδή εδώ, ή θα αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλοι ή θα βρεις και τους υπόλοιπους.

Ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση! Θα προσπαθήσω να επανέλθω σύντομα.

Philip.kal · #9

Philip.kal έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 10:51 am
Καλημέρα!

Έστω οι δύο αυτοί διαιρέτες του με και . Προφανώς θα ισχύει ότι: $\frac{N}{k}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{N}{45n}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45|N$ .

Στο σημείο αυτό, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1η περίπτωση: Ο είναι άρτιος. Τότε, ο αμέσως μεγαλύτερος διαιρέτης του από το θα είναι το . Συνεπώς, ισχύει: και $k=45n\Leftrightarrow k=90$ . Έτσι, παίρνουμε ότι: .

2η περίπτωση: Ο είναι περιττός. Όπως πριν, θα ισχύει ότι: $N=kn\Leftrightarrow N=45n^2\Leftrightarrow N=3\cdot 15n^2$ . Συνεπώς, ο αμέσως επόμενος διαιρέτης του μετά το θα είναι το και θα ισχύει: , απ' όπου έχουμε ότι:

Σε συνέχεια της παραπάνω ανάρτησης, θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλος τέτοιος αριθμός. Αν ο

είναι άρτιος, τότε ο δεύτερος μιρκότερος διαιρέτης αμέσως μετά το

θα είναι το

, οπότε προκύπτει ο N=180

που έχει ήδη βρεθεί.

Η δεύτερη περίπτωση είναι ο

να είναι περιττός. Επειδή ισχύει N=45n^2

, για να είναι ο

περιττός, πρέπει ο

να είναι περιττός. Έτσι, μπορούμε να θέσουμε: n=2m+1

και θα ισχύει: N=45(2m+1)^2

. Παρατηρούμε πως: $180m^2+180m+45\equiv 0 (mod 3)$ . Συνεπώς, αν ο

είναι περιττός, θα διαιρείται με το

και προκύπτει η τιμή N=405

. Συνεπώς, αυτές είναι οι μόνες δεκτές τιμές.

#10

Philip.kal έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 11:07 pm

Σε συνέχεια της παραπάνω ανάρτησης, θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλος τέτοιος αριθμός. Αν ο είναι άρτιος, τότε ο δεύτερος μιρκότερος διαιρέτης αμέσως μετά το θα είναι το , οπότε προκύπτει ο που έχει ήδη βρεθεί.

Η δεύτερη περίπτωση είναι ο να είναι περιττός. Επειδή ισχύει , για να είναι ο περιττός, πρέπει ο να είναι περιττός. Έτσι, μπορούμε να θέσουμε: και θα ισχύει: . Παρατηρούμε πως: $180m^2+180m+45\equiv 0 (mod 3)$ . Συνεπώς, αν ο είναι περιττός, θα διαιρείται με το και προκύπτει η τιμή . Συνεπώς, αυτές είναι οι μόνες δεκτές τιμές.

Σωστά.

Πιο απλά και στο ίδιο μήκος κύματος με την αρχική σου λύση, έστω

ο πιο μικρός διαιρέτης του

. Αυτός είναι αναγκαστικά πρώτος (αλλιώς πάρε πρώτο διαιρέτη αυτού του διαιρέτη). Όπως πριν $N=45k^2=3^2\cdot 5k^2$ . Επειδή, όπως βλέπουμε, ο

σίγουρα έχει διαιρέτη τον

, ο πιο μικρός πρώτος του διαιρέτης είναι είτε ο

ή ο

. Και συνεχίζουμε όπως πριν.

Διαιρέτες

Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Re: Διαιρέτες

Μέλη σε σύνδεση