Πρώτος και Ακέραιοι

Joaakim · #1

Καλησπέρα σας!
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς

, τέτοιους ώστε να υπάρχουν ακεραίοι x,y

, ώστε:

, και

#2

Joaakim έγραψε: Τρί Ιαν 05, 2021 10:26 pm Καλησπέρα σας!
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς , τέτοιους ώστε να υπάρχουν ακεραίοι , ώστε:
, και

Προφανώς

περιττός και x,y>0

. Αφαιρώντας είναι $p(p-1)=2(y-x)(y+x)\, (*)$ άρα

διαιρεί είτε τον y-x

ή τον

. Δεν μπορεί p|y-x

γιατί τότε για κάποιον ακέραιο

είναι

άρα στην

είναι $p-1 = 2 (y+x)k > 2(y-x) k = 2pk^2 \ge 2p$ , άτοπο. Τελικά p|y+x

και άρα $p\le y+x$ , οπότε από την (*)

έχουμε $p-1 \ge 2(y-x)$ .

Οι δ'υο τελευταίες δίνουν $p-x \le y \le \frac {1}{2} (p-1) +x$ , από όπου οι δύο ακριανές δίνουν $p+1\le 4x \, (**)$ .

Όμως (αρχική εξίσωση) έχουμε p+1=2x^2

, οπότε από την (**)

είναι $2x^2 \le 4x$ , δηλαδή $x\le 2$ . Τα υποψήφια

λοιπόν είναι x=1

ή

. Δοκιμάζουμε στις αρχικές εξισώσεις οι οποίες τώρα δίνουν p=x=y=1

(την κρατάμε αν συμφωνήσουμε ότι, όπως παλαιότερα, ο

είναι πρώτος. Αλλιώς την πετάμε) ή $p=7,\, x=2,\, y=5$ .

Ελπίζω μην έκανα καμιά πατάτα λόγω ώρας.

#3

Παραλλαγή και βελτίωση.

Είναι $2p>p+1=2x^2 \ge 2x$ , άρα p>x

. Όμοια

.

Από τις αρχικές είναι p(p-1)=2(y-x)(y+x)

άρα o (περιττός)

διαιρεί είτε τον y-x

ή τον

. Αλλά δεν μπορεί p| y-x

διότι $p> y \ge y-x$ . Άρα p| y+x

. Όμως τότε $p \le y+x < 2p$ και άρα τα δύο μαζί δίνουν $p=y+x \,(*)$ . Πίσω στην αρχική παίρνουμε $2(y-x) = p-1 \,(**)$ .

Διώχνοντας το

από τις

παίρνουμε

και άρα

, δηλαδή

(δεν μπορεί x=0

). Tελικά $p=7,\, x=2,\, y=5$ , όπως πριν.

Σχόλιο: Στην προηγούμενη λύση δουλεύαμε με ανισότητες όπως η $p \le y+x$ . Παρατήρησα όμως ότι στην τελική λύση είναι p=7=5+2=y+x

, δηλαδή ισότητα στην $p \le y+x$ . Οπότε σκέφτηκα μήπως μπορούσαμε να αποδείξουμε ανεξάρτητα την ισότητα και να εργαστούμε ανάποδα. Φαίνεται ότι δούλεψε.

Joaakim · #4

Κύριε Λάμπρου και οι δύο λύσεις είναι εξαιρετικές! Να πω μάλιστα ότι η πρώτη είναι ακριβώς η ίδια (με κάποιες μικρές παραπομπές) που είχε το βιβλίο από το οποίο πήρα την άσκηση αυτή.

#5

Joaakim έγραψε: Τετ Ιαν 06, 2021 10:09 am Κύριε Λάμπρου και οι δύο λύσεις είναι εξαιρετικές! Να πω μάλιστα ότι η πρώτη είναι ακριβώς η ίδια που είχε το βιβλίο από το οποίο πήρα την άσκηση αυτή.

Να 'σαι καλά. Και πιο είναι αυτό το βιβλίο; Όπως και να είναι, φαίνεται βιβλίο με δύσκολες ασκήσεις, που είμαι βέβαιος ότι ελάχιστοι στην ηλικία σου μπορούν να το διαβάσουν.

Πρώτος και Ακέραιοι

Πρώτος και Ακέραιοι

Re: Πρώτος και Ακέραιοι

Re: Πρώτος και Ακέραιοι

Re: Πρώτος και Ακέραιοι

Re: Πρώτος και Ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση