Άθροισμα γωνιών

mick7 · #1

Υπάρχει τρίγωνο ώστε το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του να είναι μικρότερο των 120 μοιρών..?
(Με επαρκή αιτιολόγηση)

Προθεσμία Για 48 ώρες

Joaakim · #2

[quote=mick7 post_id=335262 time=1612215157 user_id=15224]
Υπάρχει τρίγωνο ώστε το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του να είναι μικρότερο των 120 μοιρών..?
(Με επαρκή αιτιολόγηση)

[b]Προθεσμία Για 48 ώρες[/b]
[/quote]

Έστω x,y,z

οι γωνίες ενός τριγώνου, με x+y+z=180^o

.

Ας υποθέσουμε ότι για αυτό το τρίγωνο ισχύει ότι το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του είναι μικρότερα των 120^o

.

Τότε όμως θα πρέπει να είναι

x+y<120^o, y+z<120^o, z+x<120^o

$\Rightarrow 2(x+y+z)<360^o$
$\Rightarrow x+y+z<180^o$ ,
προφανώς άτοπο.

#3

Ωραία λύση. Για όφελος των μαθητών μας, ας δούμε μια διαφορετική.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι γωνίες ικανοποιούν $x\le y \le z$ . Αν για τις δύο πιο μεγάλες ισχύει y+z<120

τότε η πιο μικρή ικανοποιεί z>60

. Αλλά τότε όλες είναι >60

, και άρα το άθροισμά τους είναι $\,\,\,>3\times 60 =180$ , άτοπο.

#4

Από κάθε κορυφή του τριγώνου ABC

φέρνω παράλληλη στην απέναντι πλευρά και σχηματίζω το τραπέζιο BCDE.

: Άθροισμα γωνιών.ΙΙ.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 1541 φορές

Αν π.χ, $\displaystyle \theta + \varphi < 120^\circ ,\omega + \theta < 120^\circ ,$ τότε επειδή το άθροισμα των γωνιών του τραπεζίου

είναι $\displaystyle 360^\circ,$ θα είναι υποχρεωτικά $\displaystyle \omega + \varphi > 120^\circ.$ Άρα δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.

Christos.N · #5

: Στιγμιότυπο από 2021-02-02 17-31-35.png (26.5 KiB) Προβλήθηκε 1525 φορές

#6

mick7 έγραψε: Δευ Φεβ 01, 2021 11:32 pm Υπάρχει τρίγωνο ώστε το άθροισμα κάθε ζεύγους των γωνιών του να είναι μικρότερο των 120 μοιρών..?
(Με επαρκή αιτιολόγηση)

Ας συνεχίσουμε την άσκηση με παραλλαγές της.

Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο

α) Η μεγαλύτερη γωνία είναι 60^o

ή παραπάνω.

β) Η μεσαία γωνία είναι κάτω από 90^o

.

γ) Η μικρότερη γωνία είναι 60^o

ή παρακάτω.

Δείξτε ακόμη ότι

δ) Το γ) είναι ισοδύναμο με την αρχική άσκηση (ποστ #1).

ε) Τα α), β), γ) δεν βελτιώνονται.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές μας, κατά προτίμηση των μικρών τάξεων του Γυμνασίου.

Joaakim · #7

Μιας και έμεινε αναπάντητο.
Για το α)
Έστω x,y,z

τρεις γωνίες ενός τριγώνου, με $x \geqslant y \geqslant z$ .
Ας υποθέσουμε ότι $x<60^{o}$ . Τότε όμως θα πρέπει να είναι
$60^{ο} > x \geqslant y \geqslant z \Rightarrow x,y,z < 60^{o} \Rightarrow x+y+z<180^{ο}$ ,
προφανώς άτοπο, και το ζητούμενο έπεται.

Για το β)
Έστω x,y,z

τρεις γωνίες ενός τριγώνου, με $x \geqslant y \geqslant z$ .
Ας υποθέσουμε ότι $y \geqslant 90^{o}$ . Τότε όμως θα πρέπει να είναι
$x \geqslant y \geqslant 90^{ο} \Rightarrow x+y \geqslant 180^{o} \Rightarrow x+y+z>180^{ο}$ ,
προφανώς άτοπο, και το ζητούμενο έπεται.

Για το γ)
Έστω x,y,z

τρεις γωνίες ενός τριγώνου, με $x \geqslant y \geqslant z$ .
Ας υποθέσουμε ότι $z>60^{o}$ . Τότε όμως θα πρέπει να είναι
$x \geqslant y \geqslant z >60^{ο} \Rightarrow x, y, z>60^{ο} \Rightarrow x+y+z>180^{ο}$ ,
προφανώς άτοπο, και το ζητούμενο έπεται.

Με το δ) και το ε) δεν έχω ασχοληθεί ακόμα.

#8

αλλά χρειάζεται μικρή διόρθωση στο β) που όμως φτιάχει πάρα πολύ εύκολα

Joaakim έγραψε: Τετ Φεβ 03, 2021 11:37 pm
Ας υποθέσουμε ότι $y>90^{o}$ ...

πρέπει να γίνει $y\ge 90^o$ με μικρή αντίστοιχη προσαρμογή από εκεί και πέρα.

Άθροισμα γωνιών

Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση