Άσκηση με παραγοντικό

#1

Μόλις μου στάλθηκε από Ρουμανία, με το σχόλιο ότι απευθύνεται σε μαθητές 12 χρονών. Μου άρεσε και την μοιράζομαι μαζί σας. Επίσης ζήτησα να μου στείλουν και τις υπόλοιπες ερωτήσεις από τον ίδιο διαγωνισμό. Όταν τις λάβω, θα τις στείλω.

Να βρεθούν όλα τα $n\in \mathbb N$ με

0!+1!+2!+3!+...+n! = 2020^n

.

Εδώ

και $2!=1\times 2,\, 3!=1\times 2 \times 3, ... \, , \, n!=1\times 2 \times 3 \times ... \times n$ .

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μικρούς μας μαθητές. Μετά ανοικτή και στους μεγάλους μαθητές και ακόμη πιο μετά στα παιδιά από

έως

χρονών.

2nisic · #2

#3

Σωστός και ωραίος είναι ο τρόπος. Είχα κατά νου κάτι ακόμα ευκολότερο που θα το γράψω όταν έλθει η ώρα, αν χρειαστεί. Για τώρα θα ήθελα να ρωτήσω:

Είσαι μαθητής Γυμνασίου;

Το ρωτάω διότι...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 10:47 am
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Ας γράψουν άλλο τρόπο οι μαθητές μας.

2nisic · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 5:14 pm
Είχα κατά νου κάτι ακόμα ευκολότερο που θα το γράψω όταν έλθει η ώρα, αν χρειαστεί.

#5

Θα ξαναρωτήσω

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 5:14 pm
Είσαι μαθητής Γυμνασίου;

Manolis Petrakis · #6

Με παρόμοιο τρόπο, αλλά χωρίς τη χρήση modulo.
Εξετάζουμε τις περιπτώσεις όπου n=0,1,2,3

Για

είναι:

που ισχύει
Για τις άλλες

περιπτώσεις το 2ο μέλος είναι μεγαλύτερο.
Αν $n\geq 4$ τότε $4|4!,4|5!,...,4|n!\Rightarrow 4|4!+5!+...+n! \ (1)$
Αλλά $0!+1!+2!+3!=10\Rightarrow 4\nmid 0!+1!+2!+3! \ (2)$
Επομένως από τις (1),(2)

παίρνουμε:
$4\nmid 0!+1!+2!+...+n!$
Αλλά 4|2020^n

άτοπο.
Έτσι n=0

*Μπορούμε εναλλακτικά να κάνουμε την ίδια διαδικασία για $n\geq 5$ εξετάζοντας τη διαιρετότητα με το

2nisic · #7

Για

δεν ισχύει:
Για n>6

:
$LHS\equiv 0!+1!+2!+3!+4!+5!+6!\equiv 1+1+2+6+3+1-1\equiv 6(mod7)$
$RHS\equiv 2020^{n}\equiv 4^{n}\equiv 4,2,1(mod7)$

#8

Επειδή η άσκηση απευθύνεται σε παιδιά

χρονών γράφω λύση με αυτό κατά νου.

Μία λύση η n=0

. Μάλιστα εύκολα βλέπουμε ότι για μικρά n>0

, ας πούμε για τα $n=1,\,2,\,3,\,4$ , δεν έχουμε λύση γιατί το αριστερό μέλος είναι το πολύ 0!+1!+2!+3!+4!= 28

ενώ το δεξί είναι τουλάχιστον 2020

, που βέβαια είναι πιο μεγάλο.

Για το κύριο μέρος της άσκησης, με $n\ge 5$ , δουλεύουμε με το τελευταίο ψηφίο κάθε μέλους. Στο δεξί μέλος, το 2020^n

έχει βέβαια τελευταίο ψηφίο το

. Τώρα, επειδή για $n\ge 5$ τα

περιέχουν και 2-άρι και 5-άρι στο γινόμενό τους, το τελευταίο τους ψηφίο είναι

. Άρα τα αθροίσματα της μορφής 0!+1!+2!+3!+4!+5!+...+n! = 28 +5!+...+n!

λήγουν σε

, οπότε δεν έχουμε ισότητα.

.......

Και κάτι ακόμα. Θα ήθελα να ρωτήσω τον 2nisic για τέταρτη φορά (τρίτη σε αυτό το θρεντ και άλλη μία σε άλλο):

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 5:14 pm
Είσαι μαθητής Γυμνασίου;

Δεν ξέρω πώς το έχει πάρει αλλά νομίζει ότι το φόρουμ είναι Ιερά Εξέταση της εποχής του Πάππα Ιννοκέντιου ΙV, οπότε έχουμε κάθε λόγο να κρυβόμαστε. Αστεία πράγματα.

Άσκηση με παραγοντικό

Άσκηση με παραγοντικό

Re: Άσκηση με παραγοντικό

Re: Άσκηση με παραγοντικό

Re: Άσκηση με παραγοντικό

Re: Άσκηση με παραγοντικό

Re: Άσκηση με παραγοντικό

Re: Άσκηση με παραγοντικό

Re: Άσκηση με παραγοντικό

Μέλη σε σύνδεση