Από Τουρκία

2nisic · #1

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί n,m,k

με $k\geq 2$ τέτοιοι ώστε:
$2^{2n+1}+2^{n}+1=m^k$

Σχόλιο:Το περίεργο είναι ότι η άσκηση τέθηκε στην Τουρκία το 2003 και στην imo

σε ποίο εύκολη μορφή ( k=even

) το 2006

#2

Για

έχω τη λύση n=0,m=2,k=2

. Για

είναι άμεσο ότι δεν υπάρχει λύση.

Για $n \geqslant 2$ έχω

$\displaystyle 2^{2n+1} + 2^n = m^k-1 = (m-1)(m^{k-1} + \cdots + m + 1)$

Αν

περιττός, τότε $m^{k-1} + \cdots + m + 1$ επίσης περιττός. Άρα 2^n | m-1

. Τότε $m \geqslant 2^n$ οπότε $m^k \geqslant m^3 \geqslant 2^{3n} \geqslant 2^{2n+2} > 2^{2n+1} + 2^n + 1$ .

Αυτό είναι άτοπο επομένως ο

είναι άρτιος, έστω $k = 2\ell$ . Τότε

$\displaystyle m^{2\ell} = 2^{2n+1} + 2^n + 1 = (2^{n-1}+1)^2 + 7 \cdot 2^{2n-2}$

Άρα

$\displaystyle (m^{\ell} - 2^{n-1}-1)(m^{\ell} + 2^{n-1}+1) = 7 \cdot 2^{2n-2}$

Έχουμε

$\displaystyle (m^{\ell} - 2^{n-1}-1) + (m^{\ell} + 2^{n-1}+1) = 2m^{\ell} \equiv 2 \bmod 4$

Επειδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι άρτιο και το άθροισμα είναι ισότιμο με $2 \bmod 4$ πρέπει και οι δύο να είναι άρτιοι με τουλάχιστον τον ένα από τους δύο να μην είναι πολλαπλάσιος του

. Πρέπει λοιπόν να έχουμε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις:

$m^{\ell} - 2^{n-1}-1 = 2$ και $m^{\ell} + 2^{n-1}+1 = 7 \cdot 2^{2n-3}$

$m^{\ell} - 2^{n-1}-1 = 14$ και $m^{\ell} + 2^{n-1}+1 = 2^{2n-3}$

$m^{\ell} - 2^{n-1}-1 = 2^{2n-3}$ και $m^{\ell} + 2^{n-1}+1 =14$

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε $2(2^{n-1}+1) = 7 \cdot 2^{2n-3} -2 \geqslant 7 \cdot 2^{n-1}-2$ που είναι άτοπο αφού δίνει $4 \geqslant 5 \cdot 2^{n-1} \geqslant 5$ .

Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε $2(2^{n-1}+1) = 2^{2n-3} - 14$ . Για $n \leqslant 3$ το δεξί μέλος είναι μικρότερο του

, άτοπο. Για n=4

παίρνουμε

που δίνει τη λύση n=4,m=23,k=2

. Για $n \geqslant 5$ έχουμε $2(2^{n-1}+1) = 2^{2n-3} - 14 > 8 \cdot 2^{n-1} - 14$ που δίνει $16 \geqslant 6 \cdot 2^{n-1} \geqslant 96$ , άτοπο.

Στην τρίτη περίπτωση έχουμε $2(2^{n-1}+1) = 14 - 2^{2n-3}$ . Για να είναι το δεξί μέλος θετικό πρέπει n=2

ή

που εύκολα απορρίπτονται.

Άρα μοναδικές λύσεις οι (n,m,k) = (0,2,2)

και

.

Από Τουρκία

Από Τουρκία

Re: Από Τουρκία

Μέλη σε σύνδεση