Ανισότητα με παράμετρο που οδηγεί σε ισότητα

#1

Έστω $a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε η ανισότητα:

$(x-4)^6+3x^2+3y^2-24x-18y+75-3a \le (a-9+6y-y^2)^3$

να έχει μοναδική λύση στο $\mathbb{R}^2$ .

Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου $\alpha$ .

#2

Εκ παραδρομής ο εκθέτης του δεξιού μέλους είναι τρία και όχι έξι που είχα βάλει αρχικά. Ευχαριστώ τον Νίκο Ζανταρίδη για την επισήμανση. Πολλά ειλικρινά συγγνώμη σε όσους ταλαιπώρησα.

Al.Koutsouridis · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 05, 2021 12:29 pm
Έστω $a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε η ανισότητα:

$(x-4)^6+3x^2+3y^2-24x-18y+75-3a \le (a-9+6y-y^2)^3$

να έχει μοναδική λύση στο $\mathbb{R}^2$ .

Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου $\alpha$ .

H ανίσωση γράφεται ισοδύναμα

$(x-4)^6+3(x^2-8x+16)+3(y^2-6y+9)-3a \le (a-(y-3)^2)^3 \Leftrightarrow$

$\left ((x-4)^2 \right )^3 +3(x-4)^2+3(y-3)^2-3a \leq (a-(y-3)^2)^3$

$\left ((x-4)^2 \right )^3 +3(x-4)^2 \leq (a-(y-3)^2)^3+3 \left ( a-(y-3)^2 \right )$

Θεωρούμε την συνάρτηση f(t)=t^3+t

η οποία είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για να έχει λύσεις η παραπάνω ανίσωση θα πρέπει

$(x-4)^2 \leq a -(y-3)^2 \Leftrightarrow$

$(x-4)^2+(y-3)^2 \leq a$

Αν a <0

δεν έχουμε λύσεις. Αν a >0

έχουμε άπειρες λύσεις τα (x,y)

του κυκλικού δίσκου με κέντρο το (4,3)

και ακτίνα $\sqrt{a}$ .

Αν a=0

έχουμε μοναδική λύση, την (x,y)=(4,3)

. Πράγματι για a=0

, με αντικατάσταση στην αρχική ανίσωση, επαληθεύουμε ότι αυτό ισχύει.

Ανισότητα με παράμετρο που οδηγεί σε ισότητα

Ανισότητα με παράμετρο που οδηγεί σε ισότητα

Re: Ανισότητα με παράμετρο που οδηγεί σε ισότητα

Re: Ανισότητα με παράμετρο που οδηγεί σε ισότητα

Μέλη σε σύνδεση