Επίλυση θέματος

abcd1 · #1

Να αποδείξετε ότι ένα τρίγωνο ABΓ είναι ισόπλευρο, αν και μόνο αν ισχύει η σχέση:

$\frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}{\gamma }+{\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{\alpha }}+\frac{\gamma ^{2}+\alpha ^{2}}{\beta }=2\left ( \alpha +\beta +\gamma \right )$

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ τα μήκη των πλευρών του.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

abcd1 έγραψε: Κυρ Νοέμ 07, 2021 11:03 pm Να αποδείξετε ότι ένα τρίγωνο ABΓ είναι ισόπλευρο, αν και μόνο αν ισχύει η σχέση:

$\frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}{\gamma }+{\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{\alpha }}+\frac{\gamma ^{2}+\alpha ^{2}}{\beta }=2\left ( \alpha +\beta +\gamma \right )$

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ τα μήκη των πλευρών του.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ohgreg · #3

Από την ανισότητα:

$\alpha^2+\beta^2\geq2\alpha\beta$

Παίρνουμε:

$\frac{\alpha^2+\beta^2}{\gamma}+\frac{\beta^2+\gamma^2}{\alpha}+\frac{\gamma^2+\alpha^2}{\beta}\geq2\left ( \frac{\alpha\beta}{\gamma}+\frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta} \right )$

με ισότητα ανν $\alpha=\beta=\gamma$ .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε $\alpha\geq\beta\geq\gamma$ . Αφού οι τριάδες $(\alpha\beta, \gamma\alpha, \beta\gamma)$ και $\left ( \frac{1}{\gamma}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\alpha} \right )$ έχουν την ίδια διάταξη από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε:

$2\left ( \frac{\alpha\beta}{\gamma}+\frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta} \right )\geq2\left ( \frac{\beta\gamma}{\gamma}+\frac{\gamma\alpha}{\alpha}+\frac{\alpha\beta}{\beta} \right )=2(\alpha+\beta+\gamma)$

με ισότητα να ισχύει ανν $\alpha=\beta=\gamma$ , δηλαδή ανν το τριγώνο είναι ισόπλευρο.

#4

abcd1 έγραψε: Κυρ Νοέμ 07, 2021 11:03 pm Να αποδείξετε ότι ένα τρίγωνο ABΓ είναι ισόπλευρο, αν και μόνο αν ισχύει η σχέση:

$\frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}{\gamma }+{\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{\alpha }}+\frac{\gamma ^{2}+\alpha ^{2}}{\beta }=2\left ( \alpha +\beta +\gamma \right )$

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ τα μήκη των πλευρών του.

Με την αναμενόμενη λύση σου εδώ, πώς τα πας;

Επίλυση θέματος

Επίλυση θέματος

Re: Επίλυση θέματος

Re: Επίλυση θέματος

Re: Επίλυση θέματος

Μέλη σε σύνδεση