Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

$\pi \cdot \cos \left( \pi^{2x-x^2}\right) = a -\sqrt{3} \cdot \pi \cdot \sin \left( \pi^{2x-x^2}\right)$

έχει ακριβώς μια λύση.

KARKAR · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Νοέμ 18, 2021 10:08 pm Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

$\pi \cdot \cos \left( \pi^{2x-x^2}\right) +\sqrt{3} \cdot \pi \cdot \sin \left( \pi^{2x-x^2}\right)=a$

έχει ακριβώς μια λύση.

$\dfrac{1}{2} \cdot \cos \left( \pi^{2x-x^2}\right) +\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin \left( \pi^{2x-x^2}\right)=\dfrac{a}{2\pi}$

$\Leftrightarrow \sin \left( \dfrac{\pi}{6}+\pi^{2x-x^2}\right)=\dfrac{a}{2\pi}$

: παράξενο ημίτονο.png (4.65 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Η μοναδική οριζόντια ευθεία που έχει ένα ακριβώς κοινό σημείο με την γραφική παράσταση

της : $f(x)= \sin \left( \dfrac{\pi}{6}+\pi^{2x-x^2}\right)$ , είναι η : $y=-\dfrac{1}{2}$ , συνεπώς : $a=-\pi$ .

Σημείωση : Τα παραπάνω είναι συμβολή στην προσπάθεια λύσης και ... όχι λύση .

Λάμπρος Μπαλός · #3

Η $g(x)=sin(\frac{\pi}{6}+\pi^{1-x^{2}})$ είναι άρτια στο

και

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ΜΟΝΑΔΙΚΑ στη θέση x=0

, το $g(0)=sin \frac{7 \pi}{6}=- \frac{1}{2}$ .

Πράγματι,

$1-x^{2} \leq 1 \Leftrightarrow 0 < \pi^{1-x^{2}} \leq \pi \Leftrightarrow \frac{\pi}{6} <\frac{\pi}{6}+\pi^{1-x^{2}} \leq \frac{7 \pi}{6} \Rightarrow$

$g(0)= -\frac{1}{2} \leq g(x) \leq 1$ .

Επομένως, κάθε τιμή $y_{0}$ που λαμβάνει η

σε κάποιο $x_{0} \neq 0$ , τη λαμβάνει σίγουρα και στο $-x_{0}$ .

Η μοναδικότητα της λύσης που ζητά η άσκηση εξασφαλίζεται μόνο για

$\frac{a}{2 \pi}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow a=- \pi$ .

Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση