Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

kostas136 · #1

Γειά σας. Θα ήθελα να σας κάνω μια ερώτηση. Σε ασκήσεις του τύπου: αποδείξτε ότι $2^{450}<3^{300}$ η γνωστή μεθοδολογία είναι να βρούμε τον ΜΚΔ των εκθετών ώστε πλέον να συγκρίνουμε τις δυνάμεις με τους εναπομείναντες παράγοντες, οι οποίοι προφανώς είναι πολύ μικρότεροι. Πράγματι: $2^{3}<3^{2}$ . Αυτό που θέλω να ρωτήσω είναι: τί κάνουμε όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τους $2^{572}, 3^{315}$ , όπου οι εκθέτες, και τεράστιοι είναι, και σε "κακές" θέσεις είναι ( ο μεγαλύτερος εκθέτης στην μικρότερη βάση), αλλά και πρώτοι μεταξύ τους; Μήπως κάποιος γνωρίζει πώς μπορούμε να αντιμετωπίσουμε κάτι τέτοιο; Σας ευχαριστώ προκαταβολικά για οποιαδήποτε απάντηση.

GMANS · #2

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ Σ6.pdf: (24.05 KiB) Μεταφορτώθηκε 159 φορές

kostas136 · #3

Άρα, αυξομειώνουμε τους εκθέτες (με τίμημα φυσικά τους επιπλέον παράγοντες στο γινόμενο) ώστε να υπάρχει όσο το δυνατόν μεγαλύτερος ΜΚΔ των εκθετών. Θαυμάσια και απλή σκέψη. Σίγουρα μπορεί να αντιμετωπιστεί και με συναρτήσεις, αλλά οι προηγούμενες αντιμετωπίσεις είναι και οι ωραιότερες. Ευχαριστώ, θα εκτιμούσα την δημοσίευση οποιασδήποτε άλλης σκέψης.

chris · #4

Ασκήσεις αυτής της μορφής μπορούν να γίνουν πραγματικά δύσκολες αρκεί να σκεφτούμε οτι ο εκθέτης μπορεί να μην είναι φυσικός αλλά οποισδήποτε πραγματικός.Παρόλα αυτά θα δώσω ένα παραδειγμα-άσκηση που έχω υπόψη.

ΑΣΚΗΣΗ

Να συγκρίνετε τους αριθμούς: $(2^{10})!$ και $2^{(2^{13}+12)}$

ΛΥΣΗ

Είναι $(2^{10})!=(1024)!$ και $2^{(2^{13}+12)}=2^{8204}$ Όμως
$(1024)!\succ 1\cdot 2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 8\cdot ...\cdot 512\cdot 512\cdot 1024=2^{2}\cdot 4^{4}\cdot 8^{8}\cdot ...\cdot 512^{512}\cdot 1024$
και κάνοντάς τα όλα δυνάμεις του 2 έχουμε: $2^{2}\cdot 4^{4}\cdot 8^{8}\cdot ...\cdot 512^{512}\cdot 1024=2^{2}\cdot 2^{8}\cdot 2^{24}\cdot ...\cdot 2^{4608}\cdot 1024=2^{8204}$
Άρα $(2^{10})!\succ 2^{(2^{13}+12)}$

Σχόλιο:
Όπως καταλαβαίνετε για την επίλυση αυτής της άσκησης(και για να το γενικεύσουμε για αυτό το είδος των ασκήσεων) απαιτούνται διάφορα trick τα οποία είναι διαφορετικά σε κάθε περίπτωση και συνεπώς η δυσκολία των ασκήσεων ανεβαίνει κατακόρυφα αφού στην ουσία θα πρεπει να μπαίνουμε στο μυαλό του κατασκευαστή.Σκεφτείτε οτι στην παραπάνω περίπτωση παρόλου που οι βάσεις είναι ίδιες ένα απλό θαυμαστικο

κάνει τη διαφορά.Που να είχαμε και τίποτα ριζικά στους εκθέτες και όχι μόνο.

kwstas12345 · #5

βάζω μία άσκηση με άρρητο εκθέτη:

Να αποδειχθεί ότι: $14>2^{\sqrt{5}}$ .

#6

kwstas12345 έγραψε:βάζω μία άσκηση με άρρητο εκθέτη:

Να αποδειχθεί ότι: $14>2^{\sqrt{5}}$ .

Νομίζω είναι αρκετά αδύνατη η ανισότητα. Έχουμε $14 > 2^3 > 2^{\sqrt{5}}$ .

Να δείξω και κάτι πιο ισχυρό. Έχουμε $5 > 2^{9/4} > 2^{\sqrt{5}}$ . Η πρώτη ανισότητα ισχύει επειδή 5^4 = 625 > 512 = 2^9

και η δεύτερη επειδή 81/16 > 5

.

kwstas12345 · #7

δείξτε ότι: i) $6<3^{\sqrt{3}}<7$

ii) $7>2^{\sqrt{7}}$ .

kwstas12345 · #8

ii) $7^{4}>2^{11}\Leftrightarrow 7>2^{\frac{11}{4}}>2^{\sqrt{7}}$ διότι: $\frac{11}{4}>\sqrt{7}\Leftrightarrow \frac{121}{16}>7\Leftrightarrow 121>112$

(από το βιβλίο κλασσικές και νέες ανισότητες του κ.Στεργίου -κ.Σκομπρή)

Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Re: Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Re: Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Re: Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Re: Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Re: Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Re: Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Re: Σύγκριση δυνάμεων με πρώτους μεταξύ τους εκθέτες

Μέλη σε σύνδεση